《函数的连续性质及应用》内容小结、题型、典型题与参考课件

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1、连续函数的定义

函数f(x)在x₀处连续的三个要素：

(1)在x₀的邻域内有定义；

(2)x→x₀函数极限存在；

(3)极限值等于函数值.

2、函数连续定义的几种等价描述与证明方法

【注1】增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明，就证明区间内任意一点函数连续，则只要将增量形式中的x₀换成x则可以换成任意一点连续性的定义。 

【注2】对于分段函数的分界点，区间端点连续性的证明，分别用左连续与右连续的定义，即

【注3】闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续，右端点左连续，而不是连续！

【注4】初等函数在定义区间内任意一点都连续，从而有函数的极限等于极限的函数。即

【注5】函数可以仅仅在定义域内一点连续. 比如函数

仅仅在x=0处连续。

3、间断点及其类型

函数f(x)间断点的判定与连续性的三要素对应，满足如下三个之一即为间断点：

(1)函数在x₀处无定义；

(2)函数在x₀处有定义，但x→x₀函数极限不存在；

(3) 函数在x₀处有定义，x→x₀函数极限存在，但极限值不等于函数值.

依据函数x→x₀左右极限的存在性，可将间断点分为两个大类，四个小类：

●第一类间断点：左右极限存在。

当左右极限相等，则称为可去间断点；左右极限不等，则称为跳跃间断点。

●第二类间断点：左右极限至少有一个不存在；

如果有一个极限趋于无穷大，则称为无穷间断点；否则称为振荡间断点。

【注】间断点存在的位置为分段函数的分界点，或者函数定义区间的分割点。

4、函数间断点的判定

(1)求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点x_k；

(2)对x_k求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点及类型。

5、幂指函数极限的对数函数法

基于函数e^x在全体实数范围内的连续性，有 

其中要求f(x)在x^*的某个去心邻域内大于0，如果f(x)的极限大于0即满足要求，并且可以推得如下结论：

6、连续函数的运算法则与初等函数的连续性

●基本初等函数在定义区间内连续

●连续函数的四则运算的结果连续

●连续函数的反函数连续

●连续函数的复合函数连续

所以初等函数在定义区间内连续

7、有界闭区间上连续函数的性质

在探索求解问题的过程中，只要看到或者推导出闭区间上连续函数这样的描述，应该要在草稿纸上马上写下，或者脑海中马上能够浮出如下结论：

●有界性定理：有界闭区间上连续的函数是有界的

●最值定理：有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的；在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值，也至少存在一点使得函数取到最大值

●介值定理：位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值，在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值

●零值(零点)定理：如果闭区间两个端点的函数值异号，则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0

●如果x₁, x₂,…，x_n∈[a,b]，f(x)在[a,b]上连续，M是函数f(x)在该区间上的最大值，m是函数f(x)在该区间上的最小值，则 

8、借助零点定理证明中值等式的基本思路

借助零点定理（介值定理）可以证明方程根的存在性，或者函数零点的存在性，其一般思路为：

(1)变换需要验证等式为简单形式；

(2)将所有项移到等式一侧，一般移到左侧，右侧为0；

(3)令左侧的中值符号为变量x，则令其为辅助函数F(x)；

(4)针对讨论的闭区间，或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b]，在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号；

(5)如果乘积等于0，则中值即为端点值，结论成立；如果乘积小于0，则区间内存在零点，结论成立。

(6)改写得到的辅助函数零值等式，得到需要验证结论。

其中前三步是关键，合适的辅助函数是成功证明的关键！如果依据构建的辅助函数不成功，则重复以上步骤，重新考虑辅助函数的构建！

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