《局部线性化与微分》内容小结、题型、典型题与参考课件

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一、微分的概念

思想：“以直代曲”

【注1】A是与△x无关的量.

【注2】当函数表达式，点x₀和dx=△x给定，则dy是具体的数值；dx=△x没有给出具体数值，则微分一定是后面带有dx乘项的表达式.   

二、可微与可导的等价关系

   函数可微的充要条件函数可导，并且有

【注1】直观可以理解函数的导数记号为函数微分比上自变量的微分，即

【注2】用定义判定函数是否在某点可微，就是看是否能够找到一个与△x无关的量A，使得

如果成立，则可微，否则不可微.

【注3】利用可微与可导的等价关系，判定函数是否可微可以直接通过判定函数是否可导来实现.

【注4】微分的计算可以转换为导数的计算，特别注意的是：导数乘以dx才是微分！不加dx则是导数，两者有本质的区别，一个是变化率，一个函数值增量的近似描述.

三、微分在近似计算中的应用

将不容易计算的函数在某点x(x₀+△x)的函数值，或者函数值的增量转换为容易计算点x₀的函数值与导数值来计算，它们的误差是关于△x(△x→0)，即(x-x₀)( x→x₀)的高阶无穷小。即

四、微分的运算法则与微分不变性

1、四则运算：

将求导的四则运算法则中的求导符号替换成微分符号即可，即

其中u=u(x)，v=v(x).

2、复合运算法则与微分的形式不变性

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