《柯西中值定理与洛必达法则》内容小结、题型、典型例题解析

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一、柯西中值定理

条件：

(1)f(x),g(x)在[a,b]上连续；

(2)在(a,b)内可导；

(3)g’(x)在(a,b)内处处不为零；

结论：

在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

【注1】：公式右边分子、分母的ξ为同一个值，结论中的公式不能看成是两个函数应用拉格朗日中值定理相比得到的结果，因为对于两个函数应用拉格朗日中值定理对应的中值位置变量取值不一定相同.

【注2】：当作为分母的函数g(x)=x，则定理即为拉格朗日中值定理.

二、使用柯西中值定理证明的题型分析

(1)如果中值等式中不含ξ的部分可以表示成两个不同函数在两点的函数值的差的比值，即

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

右边也正好可以写成这样两个函数在同一个中值点的导数的比值，则对于这类问题可以考虑使用柯西中值定理来推导验证.

(2)问题研究的是两个不同函数在两点函数值差的比值，或者可以转换为这种形式的问题，则可以考虑使用柯西中值定理来探索问题的解法.

【注】：同样，由于柯西中值定理由罗尔定理证明，所以一般能够用柯西中值定理证明的中值等式，都可以考虑罗尔定理来证明.但是如果是用柯西中值定理的结论来推导、验证的某些结论，则无法使用罗尔定理来替换，比如洛必达法则结论的推导.

三、洛必达法则及其应用条件

1、洛必达法则适用的极限类型

无穷小比上无穷小，或无穷大比上无穷大的未定型，或者可以转换为这两种类型极限的计算问题

2、应用条件与结论

【注】以上变量的变化过程适用于六种变化过程，数列的极限考虑洛必达法则一定要先转换为函数描述形式，得到结论后基于海涅定理可以直接写出数列极限结果. 详细应用实例分析参见下面列出的课件列表.

参考课件节选

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