在线计算专题(05)：常微分方程、差分方程(递推数列)(组)通解、特解的计算
1、一阶微分方程通解与特解的计算 2、高阶微分方程通解与特解的计算 3、递推数列（差分方程）通解与特解
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特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！
手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作
执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.
例1 求以下微分方程的通解
参考输入的表达式为
y'=(1+y^2)e^x执行计算后得到的结果不仅告诉我们该方程为可分离变量的微分方程(Separable equation)，也是一阶非线性微分方程，同时给出了通解表达式和线素场描述形式. 最后还给出了一个特解的积分曲线和积分曲线族. 结果显示页面如下.
例2 求以下微分方程的特解
参考输入的表达式为
(x^3+y^3)dx-(3x y^2)dy=0,y(1)=1执行计算后得到的结果显示该微分方程为伯努利微分方程，也为齐次方程，属于一阶非线性微分方程，对于指定类型给出了对应类型的方程标准结构描述形式. 最后给出了特解函数表达式等一些信息，部分结果显示如下.
例3 求以下微分方程的通解
参考输入的表达式可以为
x dy/dx=x^2+3y,y(1)=0不过更适合的方式应该为
x y'=x^2+3y,y(1)=0这样显示的结果更清晰. 执行计算后得到的结果显示该微分方程为一阶线性常微分方程，并给出它的通解表达式. 如下图所示.
【注】 对于微分方程的通解一般会写出显函数的表达式，为了从隐式通解中解出自变量函数表达式，可能解函数表达式有时候比较复杂.
2、高阶微分方程通解与特解的计算
例1 求以下微分方程的通解
参考输入的表达式为
x y y''+x (y')^2=3y y'这是一个换元后转换为可降阶为微分方程，执行计算后得到的结果显示如下.
例2 求以下微分方程的通解
参考输入的表达式为
x y''-y'-(x-1)y=0执行计算后得到的结果显示该方程为Sturm-Liouville equation(斯图膜-刘维尔方程)，也是一个二阶线性常微分方程，然后显示它的通解等信息. 如下图所示.
例3 求解如下初值问题：
参考输入的表达式为
y''+2y'+5y=e^(-x) cosx,y(0)=0,y'(0)=0执行计算后得到的结果显示如下.
【注】 对于通解位置的[Step-by-step solution]，如果是正式注册用户，则点击链接可以显示如下的求解过程，也可以说是非齐次常系数线性微分方程求解的一般思路推导过程.
例4 求以下微分方程的通解
参考输入的表达式为
x^3 y'''+x^2 y''-4x y'=3x^2执行计算后得到的结果显示该方程为欧拉方程（Euler-Cauchy equation），也是三阶线性常微分方程. 计算结果如下
结果中任意常数为复数组合，直接用任意常数替换即可，即可以令
则得直接手算得到的结果.
例5 求以下微分方程组的通解
参考输入的表达式为
x'(t)-3x+2y'(t)+4y=2sint,2x'(t)+2x+y'(t)-y=cost执行计算后得到的结果显示如下.
3、递推数列（差分方程）通解与特解
例1 求以下递推式确定的数列的一般通项公式
参考输入的表达式为
a(n + 2) - 5a(n + 1)+ 6a(n)=n执行计算后得到的结果显示如下.
如果在后面加上初值条件, ，即输入
a(n + 2) - 5a(n + 1)+ 6a(n)=n,a(0)=1,a(1)=3则得特定的通项公式为
例2 求以下递推公式确定的通项公式
参考输入的表达式为
y(n+1)=3y(n)/(1+y(n)+x(n)),x(n+1)=x(n)/(1+y(n)+x(n)),x(1)=1,y(1)=1执行计算后得到的结果显示如下.
【注】 差分方程（递推数列）一般通项表达式与已知初值的通项公式的求解输入方式和微分方程基本一致，其中参数n与最大参数的差即为阶数，确定任意常数就需要几个初值. 如例1为二阶，所以需要两个初值来确定两个任意常数.
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