数列极限的定义、应用注意事项、典型思路与实例分析
1、数列极限定义的等价描述形式
定义1：数列收敛于对于任一给定的 ，存在正整数，当时，恒有成立.定义2：数列收敛于 对于任一给定的 ，存在正整数， ，成立.
定义3：数列收敛于 , , ，成立.
定义4：数列收敛于 对于任一给定的 ，, ，成立，其中是一个与和都无关的正的常数.
2、关于数列定义的有关注意事项
【注1】：只要四个定义右边的任意一种描述成立，就可以直接得到数列收敛的结论成立；同样，如果数列收敛于，则可以写出右边四种等价描述形式，针对不同的问题，选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.
【注2】：由于定义中的是用来度量数列与极限值的逼近程度的，所以可小不可大，对于它的取法，在使用定义证明极限时，可以假定其小于某个正数，比如小于1内取值；对于 可大不可小，取法不唯一. 如果满足条件，则（为任意正整数）都可以取为定义中的 值. 因此，的取值与有关，但并不是的函数.
3、利用数列极限定义证明极限的步骤与方法
用数列极限定义证明数列收敛于：
关键：对于任取的，找到一个符合定义中的；
方法：适当放大不等式；
基本步骤：
第一步：任取，可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个定值.
第二步：借助适当放大方法放大、简化为. 其中放大的方法主要从原绝对值里面的式子出发，当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大，目标都是尽可能通过放大，简化绝对值里面的 关系式，使得第三步求解不等式时变得非常简单.
第三步：解关于变量的不等式，得. 如果不能得到这样的结果，则需要重新改写原绝对值不等式.
第四步：取 描述结论：即任取，取，则当时，有恒成立，所以数列收敛于 .
【注3】：在放大不等式的过程中，可能也对的取值有一定的限制，比如必须大于时放大不等式才成立. 这个时候，最后的应该取为
.
4、例题
例1：用数列极限的定义证明：
【参考证明】：第一步：任取.第二步：放大、简化绝对值不等式
第三步：解关于变量的不等式，得
第四步：取描述结论：
【任取，取，则当时，
恒成立，所以
】
【注4】：其实证明过程只需要【 】里面的过程就可以了，因为根据定义，只要对于任意给定的正数，能够找到一个，让不等式在恒成立即可. 所以前面三步其实是探索、寻找的过程，不过实际过程最好包含不等式放大的过程.
例2：用数列极限的定义证明：
【分析】：借助二项式展开，有
右边的和的每一项都为正的，所以当时，只取第六项，则有
令，解得. 为了同时保证 ，甚至为了保证也大于，我们可取，其实这样的范围也可以通过设定的取值范围来保证，比如设的取值范围为，则完全可以保证满足以上不等式对的要求.
【参考证明】：任取，取，则当时，
恒成立，所以
例3：用数列极限的定义证明：【分析1】：不等式法：【分析2】：借助例2类似放缩法方法，问题转换：由于，所以当时，有
【注5】：问题转换方法是经常考虑问题的一种方法，尤其是一个数列由另一数列描述的，经常转换问题描述，实现问题求解或验证. 比如这样由已知，则借助数列极限的四则运算法则可以直接得到结论成立.
【注6】：在没有明确要求使用语言定义描述的情况下，要证明收敛于，则只要验证得到
则基于夹逼准则就验证了收敛于. 其实也可以认为是定义的一种描述形式.
【注7】：借助数列极限的四则运算法则和夹逼定理，有如下结论：
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