第03讲：函数的概念与基本性质内容小结、课件与典型例题与练习

一、函数的概念

1、符号描述的无关性

函数由定义域，对应法则唯一确定，具有符号无关性。

2、两函数相同

必须定义域、对应法则一致，从而值域必定相同。

3、函数的定义域有自然定义域与实际定义域

实际定义域包含于自然定义域，确定函数的定义域时，注意函数描述的实际背景的意义或生成过程每步要有意义.

4、对于自然定义域的确定注意以下几个结论

• 分式函数，分母不为零；

• 偶次根式下的表达式大于等于0；

• 对数的底数大于0且不等于1，真数大于0；

• 正切、余切和反三角函数的变量范围限制.

• 对于抽象函数的定义域的讨论则依据函数定义和题设条件确定. 

二、几个特殊的函数和初等函数

对几个特殊函数和初等函数的定义域、值域、图形必须熟练掌握.

1、特殊函数

特殊函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证或说明某些函数方面的命题或结论。主要包括：常值函数、绝对值函数、符号函数、一般分段函数、取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数等，其中狄利克雷函数和黎曼函数注意其变形式.对于黎曼函数有如下几个结论：

• 定理：黎曼函数在区间[0,1]内的极限处处为0。

• 推论1：黎曼函数在内的无理点处处连续，有理点处处不连续。

• 推论2：黎曼函数在区间上是黎曼可积的（黎曼函数在[0,1]上的积分为0）

2、基本初等函数

幂函数、指数函数(尤其是e^x)、对数函数(尤其是lnx)、三角函数（sinx, cosx, tanx, cotx）、反三角函数(arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx).对于这些函数的定义域、值域与图形要熟练掌握.

3、初等函数

初等函数是由基本初等函数与常值函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的，并且可由一个统一的表达式描述的函数．在微积分中所接触到的函数多数为初等函数．

【注】：不能完全直观地从形式上完全判断一个分段函数不为初等函数. 比如绝对值函数常见的分段函数描述，但是它可以描述为符合初等函数定义的具有复合函数结构.如

常见的函数还有多项式函数、有理函数、无理函数和双曲函数等.

三、函数的四则运算与求逆运算

1、四则运算与复合运算

函数的四则运算与复合运算不能以运算以后的形式来确定函数的定义域，而应该是要让运算过程有效的定义域。注意自然定义域与实际定义域的区别与联系.

2、反函数

直接函数y=f(x)与反函数x=f^-1(y)的图形为同一曲线，而与y=f^-1(x)的图形关于直线y=x对称。其实，如果在同一坐标系中y=f(x)与y=f^-1(x)在形式上不构成真正意义上的反函数关系.

四、函数的基本性质

1、确定定义域、值域；尤其是定义域

研究一个函数时，首先必须明确其定义域.

2、函数的四个基本性质有界性、单调性、奇偶性、周期性

3、函数有界性的判定思路

有界性直接应用定义进行判定；判定函数f(x)在区间I上无界的一般思路：

(1) 对于任意给定的正数M，总能在I内找到点x，使得|f(x)|大于M.

(2) 在I内能够找到一个数列{x_n}，当n→∞时，|f(x_n)| →∞.

4、函数单调性的判定

(1)证明、判定可导函数单调性的直接方法是导数的符号；

(2)证明、判定非可导函数单调性的是定义法，即任取x₁<x₂，判定f(x₁),f(x₂)的大小关系，一般采用相减或者相除的方法来判定.

区间上严格单调函数为一一映射，函数在严格单调区间上存在反函数；而不单调的函数也可能有单值反函数！如函数

不单调，但是有单值反函数。

5、函数奇偶性的判定

(1)证明、判定函数的奇偶性采取的方法定义法，即直接比较f(-x)与f(x)的关系，如果两者相等，则为偶函数，如果互为相反数、或者两者的和等于0，则为奇函数.

(2)在几何上，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称．

6、函数周期性的判定 

证明函数为周期函数就是要找到一个正数T，使得对于任意x∈R，恒有：f(x+T)=f(x)成立.

 【注】：狄利克雷函数是没有最小正周期的函数，其周期只能为正的有理数。

五、函数草图的绘制

基于函数的基本性质，通过特殊取点，描绘函数图形的草图：

函数的定义域、值域（绘图范围），函数的奇偶性（对称性，只需要绘制一侧曲线图形，对称得另一侧图形）、函数的单调性(曲线递增递减特征)、有界性(函数曲线大致上下伸展范围)、周期性（只需绘制一个周期内的图形，平移复制得到其他周期内图形），在绘图图形范围内取特殊点进一步精确定位描述大致曲线图形.

 【注】：曲线特征更多细节的讨论，图形更精确的描绘基于导数应用内容的讨论，即：函数单调性、凹凸性、极值点、拐点、渐近线的深入分析与讨论.

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