第07讲：《函数极限的概念与性质》内容小结、课件与典型例题与练习

一、函数极限的定义

1、函数自变量有六种可能的变化过程，与自变量的六种变化过程相对应有六种极限定义. 2、注意极限的存在性只与去心邻域的变量取值有关，因为考虑极限存在性与相关的性质时，只需考虑邻域内函数的取值与变化. 3、在x→+∞，-∞，∞三种定义中只要一个极限存在，就表示曲线有自变量趋于相应无穷大的水平渐近线方程y=极限值；即只要一个极限存在，就说明曲线有水平渐近线，由此可得，曲线可能有的水平渐近线条数为0，1，2。

二、用极限定义证明极限的统一思路与步骤

用极限定义证明极限存在并且等于给定数值的统一思想，就是通过适当放大不等式|f(x)-a|，使其具有定义中的“当”中不等式包含变量一侧的表达式(记作g(x)，其可能形式为x，|x|，x-x₀，|x-x₀|)的函数结构|f(x)-a|<h(g(x))，然后解该式小于ε的、关于g(x)不等式，使得不等式的结果为g(x)与“当”中不等式一致结构的描述形式，则不等式一侧关于ε的表达式就是需要证明的“存在”值的表达式，如X，δ. 如果这样的过程可以实现，则说明放大过程有效，极限存在就等于给定的值，并且所需要验证的“存在”的值，也就等于得到的关于g(x)的不等式另一侧的表达式. (1) 注意结合变量本身的取值可能的有效范围一起考虑，并将其限定范围描述为g(x)的描述形式，如课件中二（例2）的验证过程. (2) 可将ε的范围限制在小于某一正数，比如0<ε<1的范围内讨论. (3) 直接将变量取值范围限制某一去心邻域范围内放大绝对值表达式，如x→2，可直接限定讨论范围为不包含2的区间范围[1,3]，甚至更小范围；x→+∞，可以直接在x>n0的范围内讨论等.

三、函数极限的基本性质

极限的基本性质即看到极限存在、或者讨论相关极限问题时，应该能够直接写出的结论，或者需要满足的结论.1、极限存在的充要条件是左右极限存在并且相等

2、唯一性、局部有界限、保号性以及变形描述

四、基本初等函数的极限

应用定义可以直接证明基本初等函数，如常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，自变量趋于定义域内的点的极限值就等于函数值                          对于这些结论是依据函数极限运算法则计算函数极限的基础.有几个趋于无穷大的极限结论必须牢记，它们和一些分段函数一样，常用来举例说明一些问题，或直接的得到一些结论：当a>1时，当0<a<1时，对于反正切函数，有

五、函数极限的四则运算法则

(1) 特别注意参与运算的函数是同一变化过程中极限都存在

(2) 作为分母的函数在去心邻域内函数值和极限值都不能等于零

(3) 乘以一个非零常数不改变函数的敛散性

(4) 参与运算的函数个数为有限个

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