第09讲：《无穷小与无穷大、曲线的渐近线》内容小结、课件与典型例题与练习

18世纪，微积分在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但是牛顿的无穷小量的数学推导过程在逻辑上自相矛盾，这种逻辑上的混乱受到了尖锐的批评。尽管微积分初期存在逻辑上的混乱，但这并不影响牛顿作为微积分发明人的重要地位与巨大贡献。当然随着严格的极限理论建立，使微积分拥有了严密的基础，第二次数学危机也成功化解。

• 无穷小是微积分的基础概念之一

• 牛顿在引入无穷小的概念时，并未说明它是零还是非零，导致了矛盾。

• 无穷小的争议引发了数学史上的第二次危机

• 19世纪柯西指出无穷小是使一个要多小就有多小的变量，基本解决了第二次数学危机

一、无穷小及其基本性质

1、无穷小(量)是自变量的某个变化过程中极限为0的函数

2、除0外，其他任何常值函数都不是无穷小量3、函数，函数极限与无穷小的关系：其中.【注】这个性质给出了极限式中的抽象函数的一种相对具体的描述形式，借助f(x)的这种描述形式，使得与之相关问题的解决更加直观、有效！同时，看到一个函数极限存在的条件，要记得极限式可以写成以上描述形式，为问题解决提供一种可能的探索思路或方向.4、有限个无穷小的和与有限个无穷小的积仍然是无穷小【注】无限个结果就不一定成立5、有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小

二、无穷大及其基本性质

1、无穷大是自变量的某个变化过程中函数值整体无限增大！2、无穷大分为正无穷大与负无穷大，一般用前面带正负号标记区别+∞，-∞。如果函数值在某个变化过程中即趋于正无穷大，也趋于负无穷大，比如1/x在x→0时，两侧同时趋于无穷大，只不过左侧趋于负无穷大，右侧趋于正无穷大，则一般记作∞.3、验证一个函数是某个自变量变化过程中的无穷大最有效的方式是验证它的倒数为该自变量变化过程中的无穷小量，即极限等于04、某变量变化过程的无穷大与有界函数之和仍是该过程的无穷大5、某变量变化过程的无穷大与该过程极限值为非零值的函数的乘积仍是该过程的无穷大6、无穷大与无界函数的区别与判定思路与方法

• 如果有一个子变化过程，使得函数值趋于某个确定的值，则该函数不是该变化过程中的无穷大
• 如果有一个变量的子变化过程，使得函数值趋于无穷大，则该函数是无界函数
• 如果函数是某个自变量变化过程的无穷大，则它一定无界；无界函数不一定自变量的变化过程使得函数值趋于无穷大

 三、无穷小的比较高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小【注】定义、判定见后面列出的课件. 

四、等价无穷小计算极限应用注意事项

【注1】两个无穷小之比求极限时，分子、分母整体都可用等价无穷小来代替。 【注2】用等价无穷小替换计算极限的过程一般适用于相乘、相除因式整体用等价无穷小替换（因式替换原则）；一般两个等价无穷小相减，一个或两个都不能替换；非等价无穷小相减，或等价无穷小相加一般可以替换（加减替换原则）；两个无穷小的加减项表达式整体等价于低阶无穷小（和差取大原则）。【注3】记住常用的几个等价无穷小（参见课件）

五、函数描述的曲线渐近线求解步骤

定义 设有一定直线L，当曲线C上一动点远离原点时，曲线C与直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线。

从曲线渐近线描述性定义来看，其关键点在于两个因素：一是曲线上动点远离原点，二是此时曲线与定直线的距离趋于零。曲线远离原点可以用因变量趋于无穷（此时自变量趋于某个固定的常数）或者自变量趋于无穷来刻画，相应得到曲线的铅直渐近线，或斜渐近线、水平渐近线。 

● 水平渐近线一个函数f(x)的水平渐近线可能的条数为：0，1，2条数为0：以上两个极限都不存在，比如f(x)=x；
条数为1：以上两个极限有一个存在，或者两个都存在，但是极限值相等，比如f(x)=1/x；条数为2：以上两个极限都存在，并且极限值不相等，比如f(x)=arctanx；函数f(x)描述的曲线的水平渐近线为函数值等于极限值的常值函数对应的水平直线。  

●铅直渐近线

一个函数f(x)的铅直渐近线可能的条数为：0，1，2，…无数条如果在函数f(x)的定义域上（包括没有定义的定义区间端点），对于其中的x_k，上面的左右极限只要有一个极限趋于正无穷大，或者负无穷大，则x=x_k对应的铅直线就为函数f(x)描述的曲线的铅直渐近线。 

●斜渐近线

一个函数f(x)的斜渐近线可能的条数为：0，1，2如果以上k值不等于0，且不相等，则有2条；如果仅有一个存在且不等于0，则只有1条；如果两个都等于0，或者极限都不存在，则0条. 如果有斜渐近线，则对应的斜渐近线方程为y=kx+b。 

【注1】当k=0，则曲线有相应方向的水平渐近线y=b. 即曲线的水平渐近线、斜渐近线有统一的判定、计算方法，也即斜渐近线的计算步骤.

【注2】曲线有渐近线当且仅当，其中是相应的自变量变化过程中的无穷小量.【注3】求一元函数y=f(x)描述的曲线的渐近线的基本思路与步骤参见课件.

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参考课件

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