第16讲：《柯西中值定理与洛必达法则》内容小结、课件与典型例题与练习

一、柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。   

【注1】：公式右边分子、分母的ξ为同一个值，结论中的公式不能看成是两个函数应用拉格朗日中值定理相比得到的结果，因为对于两个函数应用拉格朗日中值定理对应的中值位置变量取值不一定相同.

 【注2】：在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同. 因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广. 

二、使用柯西中值定理证明的题型分析

(1) 如果中值等式中不含ξ的部分可以表示成两个不同函数在两点的函数值的差的比值，即

右边也正好可以写成这样两个函数在同一个中值点的导数的比值，则对于这类问题可以考虑使用柯西中值定理来推导验证.
 (2) 问题研究的是两个不同函数在两点函数值差的比值，或者可以转换为这种形式的问题，则可以考虑使用柯西中值定理来探索问题的解法. 【注】：同样，由于柯西中值定理由罗尔定理证明，所以一般能够用柯西中值定理证明的中值等式，都可以考虑罗尔定理来证明. 但是如果是用柯西中值定理的结论来推导、验证的某些结论，则无法使用罗尔定理来替换，比如洛必达法则结论的推导. (3)  柯西中值定理也可以用来验证不等式. 可以参见课件中的练习.

三、洛必达法则及其应用条件

1、洛必达法则适用的极限类型无穷小比上无穷小，或无穷大比上无穷大的未定型，或者可以转换为这两种类型极限的计算问题. 2、应用条件与结论一定要注意极限的类型判定、可导性的判定和导数描述的极限的存在性的判定. 洛必达法则中极限变量的变化过程适用于六种变化过程，数列的极限考虑洛必达法则一定要先转换为函数描述形式，得到结论后基于海涅定理可以直接写出数列极限结果. 

四、Stolz公式

作为数列的“洛必达法则”，stolz定理并没有包含在通常的高等数学教材中。特别注意，虽然 Stolz公式中的极限可以为+∞或 -∞，但它不可以为同时趋于正负∞！

例如：, ，则

实际应用中，Stolz公式主要用第一种形式，“零比零”类型的施笃兹定理应用很少. 【注】课件中的例题的解题思路与过程仅仅说明如何应用Stolz定理解题，并不一定是相应问题最适合的解题思路！而且一般Stolz定理的内容属于数学分析课程的内容，在高等数学、微积分等课程学习中不做要求！当然，在明确定理名称，尤其是写出定理内容的情况下，在高等数学、微积分相关学习内容的检测中，没有指明必须使用某个知识点解题的情况下，也可以应用该定理作为依据来求解问题！一般有明确名称的结论都可以这样使用. 关于这些内容的更详细讨论，尤其是洛必达法则应用的原则，可以参见“第三届全国大学数学竞赛初赛真题解析”在线课堂，点击本文左下角“阅读原文”可以直达. 更多典型例题、题型讨论，也可以参见如下专题：

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参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

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