第20讲：《曲线图形的凹凸性与分析作图法》内容小结、课件与典型例题与练习

凸函数是一个重要的数学概念，它在最优化问题中有着广泛的应用. 国内很多高等数学教材中，一般将凹曲线对应的函数就称为凹函数，凸曲线对应的函数就称为凸函数；而在国外，或国内某些数学分析教材，或涉及经济学的书籍中，则一般沿用国外的说法，凹曲线(下凸曲线)对应的函数为凸函数(ConvexFunction)，凸曲线(上凸曲线)对应的函数为凹函数(ConcaveFunction)，定义正好相反！而同济版的教材则没定义函数，直接定义的是图形：即曲线的凹凸性.对于图形一般沿用这种直观说法，曲线图形的凹凸性.对于函数沿用国外定义，即凹曲线凸函数，凸曲线凹函数.对于具体问题则根据题意确定！

一、曲线凹凸性的不等式描述

如果没有特殊说明，高等数学中的凹凸性一般指的是曲线图形的凹凸性，如上图的曲线为凹曲线，或者下凸曲线. 如果曲线图形为严格的凹曲线（凸函数），则：

(1)【割线特征1】设在 上有定义，在 上任取两点，对于任意 ，有

(2)【割线特征2】设在上有定义，在 上任取两点 ，对任意实数 ，恒有

(3)【中点特征】设 在 上有定义，在 上任取两点 ，

(4)【切线特征】设 在 上有定义，在 内可导，在 内容任取一点 ，对于任意 ，有

以上四种描述也可以认为是凸函数的四个不同等价定义描述.

【注1】将上面的不等号改变符号，则为凸曲线（上凸曲线）的不等式描述. 借助以上不等式描述可以判定曲线的凹凸性.

【注2】如果曲线 是区间 上的凹曲线，则局部极小值点也是全局最小值点，最大值一定为两个端点对应的函数值的最大值，相应函数也即为单谷函数；如果曲线 是区间 上的凸曲线，则局部极大值点也是全局最大值点，最小值一定为两个端点对应的函数值的最小值，相应函数也即为单峰函数.

【注3】借助曲线图形的凹凸性特征可以用于证明函数不等式或常值不等式.

二、函数凹凸性的判定

【导函数特征】设在上有定义，在内可导，描述凹曲线的函数 的一阶导数 为单调增加函数，描述凸曲线的函数 的导函数 单调递减.定理 设 在 内具有二阶导数，(1) 如果在 内，二阶导数 ，或 且在任意子区间内 不恒等于零，那么 描述的曲线图形为严格的凹曲线；(2) 如果在 内，二阶导数 ，或 且在任意子区间内 不恒等于零，那么 描述的曲线图形为严格的凸曲线．【注】借助泰勒公式与切线不等式的描述可以验证该结论成立.

三、曲线图形的拐点及其判定

连续曲线凹凸性的分界点称为曲线的拐点．

【注1】特别注意，拐点是曲线图形上的点，所以为坐标点. 极值点是函数的极值点，所以为变量的取值 .

【注2】可能取到拐点的位置为函数二阶导数等于0的点或者一阶、二阶导数不存在的点.

【注3】如果 是函数 的拐点，则 是函数 的一阶导函数 的极值点. 曲线图形的拐点是导函数单调性分界点，也即描述曲线的函数二阶导数改变符号的点.

【注4】拐点的直接判定：若 在 有直到 阶导数，且

则当 为奇数时， 为 描述的曲线的拐点，当 偶数时， 不为拐点.

四、凹凸性、拐点的判定步骤

(1) 写出定义域.

(2) 确定图形的凹凸区间分界点：函数二阶导数等于0或者一阶、二阶导数不存在的点是连续函数描述的曲线凹凸区间可能的分界点，或可能的拐点. 以这些点为分割点分割定义域为定义区间.

(3) 确定曲线的凹凸性与拐点位置：依据二阶导数的符号，列表分析定义区间内函数描述的图形的凹凸性和拐点的位置.

(4) 写出凹凸区间和拐点坐标：凹凸区间一般写成开区间，也可以是闭区间(如果函数是闭区间上的连续函数). 拐点一定是坐标点.

五、分析作图法的基本步骤与典型题分析

对于要求描述一个给定函数的图形的问题应该考虑和至少具有如下五个步骤：

第一步：函数的一般性质分析：确定函数的定义域、奇偶性(画一侧的图形)、周期性(画一个周期上的图形). 

第二步：求一阶导数和二阶导数，确定使一阶、二阶导数等于0的点及不存在的点，即找出函数的可能的极值点和拐点；并以这些点为分割点分割定义域为定义区间. 

第三步：列表分析，分别根据一阶、二阶导函数的符号确定函数的单调区间和曲线图形的凹凸区间、极值点和拐点. 

第四步：用渐近线界定曲线的变化趋势．分析并求函数描述的曲线的水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线. 

第五步：描点作图，并标出关键点的坐标(包括与坐标轴的交点)，画出渐近线，用光滑曲线连接各关键点.

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