第28讲：《定积分的换元法与分部积分法》内容小结、课件与典型例题与练习

定积分的换元法与分部积分法是定积分计算的基本方法，即在基于微积分基本公式，直接应用基本初等函数的不定积分基本积分表和线性运算计算出定积分时，首先应该考虑的定积分计算思路与方法. 两种方法应用的被积函数结构类型和思路探索方法与不定积分相应方法完全一致，应用过程中不同的地方主要把握如下几点：

1、关于定积分的换元法

(1) 选取的函数一般为讨论区间范围内的单调可微函数.

(2) 换元换限时一定注意积分上、下限要对应变化，即上限对上限，下限对下限.

(3) 换元要求将被积表达式中的所有积分变量符号都有新的变量表达式替换.

(4) 不定积分换元计算出原函数来以后，一定要通过相应的全部换元过程的逆代换换回原来的积分变量符号表达式，不定积分不具有变量符号描述的无关性.

(5) 与不定积分不同，定积分换元后直接针对换元后的变量和积分限计算定积分即可，没有回代过程！同时注意，定积分具有变量符号描述的无关性.

2、关于分部积分法

同样其应用的思路与步骤与不定积分一样，函数的选择也一般遵循“反对幂指三”的原则. 对于多次应用分部积分法的步骤，遵循“边积边代限”来简化计算过程. 一般定积分的分部积分法的过程、结果描述，相对于不定积分的分部积分法要简洁、直接.

分部积分法特别适用的固定的题型包括：被积函数无法拆分和直接求原函数，则考虑直接令其为公式中的u函数，比如变限积分函数、反函数、抽象函数等；当被积函数中本身含有导数表达式时，直接将其放入微分来构造v函数等.

3、常用结论与公式

在计算定积分时，适当记作有些结论和公式对于简化、提速积分计算具有很大帮助，比如如下几个公式都可以直接使用来计算定积分，尤其是其中的华莱士公式及其变形式.

其中, 在 , 上的积分一般也可以转换为 上计算来计算. 比如有

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参考课件

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