第33讲：《定积分计算相关结论与典型题分析》内容小结、课件与典型例题与练习
一、定积分计算一般思路
Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算.例如课件中奇偶性性质命题后的练习.
Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算.例如课件中周期性性质命题后的练习.
Step3：对需要计算的最终被积函数在指定区间上的定积分，考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分.
Step4：如果不能考虑分部积分法，则首先考虑定积分的换元法. 换元表达式的选取与使用方法与不定积分一样，也有第一类和第二类换元法（三角代换、根式代换、倒代换等），换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！
【注1】不管是分部积分法还是换元法（第一类换元法），一般是将被积函数分解为两个函数的乘积，然后考察简单函数的原函数，一般思路为（假设函数h(x)为简单函数）：
【注2】对于两个函数的乘积，在寻找h(x)的原函数的过程中，注意观察可能的原函数结构与余下函数的关系，通过构造函数（加、减、乘、除函数项弥补需求）得到函数的原函数。如
考虑到分式求导公式，并结合导数结果，容易发现，如果求导的函数多一个分子x，则正好符合要求，所以就有
【注3】考虑简单函数的导数来寻找余下函数的关系来构造合适的换元方式与计算方法.
【注4】不定积分计算思路从step3开始，对于不定积分记得三角代换的三个三角形用来逆代换三角函数表达式。
【注5】时刻考察中间积分结果与前面过程积分之间的联系(积分区间、被积函数) ，考察积分区间和被积函数结构特点，分割积分区间换元，再现积分区域与被积函数，来达到简化积分过程，实现积分计算。对于以下课件中的相关结论可以熟练掌握，并灵活应用.
二、定积分计算区间再现方法
区间再现作为一种积分技巧，不算太难也不容易，重点在于分析被积函数与积分区间的结构特点来做适当的变换，一般再现包括了区间再现和被积函数再现，其目的是基于基本变量描述符号的无关性，基于线性运算性质和积分对积分区间的可加性，达到抵消不可积、或不好计算的积分，或者转换为容易计算的积分来实现积分的计算思路。
利用区间再现方法计算积分，特别是三角函数定积分是相对来说比较常见的题型，如果不知道这个方法，做起来会比较吃力. 甚至有些积分既使借助于数学软件也无法正确得到结果，只有经过这样处理才能得到最终积分值。
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！
相关推荐
● 高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项
● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座 选项了解！
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！
↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容