第34讲：《微分方程的基本概念》内容小结、课件与典型例题与练习

函数是变量之间的对应关系，它可以构成各种实际问题的模型．在实际问题中，这种对应关系并不是显而易见的，而是根据所考虑的对象遵从的客观规律，隐含在函数及其导数所满足的等式中，这样的等式就是我们研究的常微分方程（简称微分方程）．

例如，牛顿最早研究天体的运动规律时，假定行星是各自独立的对象，只受到太阳引力的作用，因此牛顿的分析只涉及两个对象，这类问题统称为“二体问题”．牛顿采用数学方法研究二体问题时，需要求解的运动方程就是微分方程．1864年英国数学家勒维耶由引力定律建立了一个微分方程模型，经严密分析后断定了海王星的存在性，并确定了海王星在天空中的位置．在19世纪早期，柯西给微积分学注入了严密性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了一个基石（解的存在惟一性定理）．到19世纪末期，庞卡莱和李雅普诺夫分别创建了常微分方程的定性理论和稳定性理论．常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的重要和有效的工具之一，它在几何、力学、物理、自动控制、电子技术，生命科学、航天、军事和经济等领域都有广泛的应用．

关于常微分方程基本概念几个注意问题：

1、通解并不一定包含微分方程的所有解．

因此，在做练习时，应该注意求解微分方程与求微分方程通解的差别．一般来说，求解微分方程应该将满足微分方程的所有解求出，而求通解只需要求得一个包含与微分方程阶数相同个数的、相互独立的任意常数的解即可．同时通解也不唯一，如微分方程

在全体实数范围内通解可以为，也可以是

2、并不是所有微分方程都有通解

值得注意的是，一般来说微分方程的通解可以包含它的所有解，或者在满足一定的条件下，微分方程的通解会包含微分方程所有解．但是并不是所有微分方程都有通解，有些微分方程只能通过数值方法来求解． 

3、初值问题的特解不一定唯一 

4、通解中的任意常数“不任意”

在常微分方程通解的定义中强调相互独立的任意常数，意指在通解中取一组给定的常数得到的函数都为对应常微分方程的解．其实，任意常数并非可以任意取值，如是常微分方程的通解，此时取大于2的值就没有意义．所以任意常数并不是一定可以取遍任意实数的，而且也不要求它一定要取遍实数，这个任意性应该在使得通解关系式有意义的范围内体现．

5、包含任意常数的解不一定是通解

包含有个相互独立的任意常数的阶微分方程的解既不是通解，也不是的特解，而是微分方程的一组解． 

6、求微分方程的通解时，只需要得到符合通解定义的微分方程解即可

求微分方程的通解的过程中不需要完全等价改写、变换，只需要通过改写，能够求得满足通解定义的微分方程的解即可，也不需要求出微分方程的所有解. 这样也就使得在求解过程中能够将有些过程做特殊化处理来简化计算过程.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

相关推荐

● 高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项

● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部  竞赛实验  下 竞赛试题与通知  选项

● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座  选项了解！

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容