第36讲：《一阶线性微分方程与伯努利方程》内容小结、课件与典型例题与练习
一、一阶微分方程分类
第一类：可分离变量的微分方程及其分离变量的求解方法，包括齐次微分方程（换元法）。
第二类：一阶线性微分方程，其中齐次线性微分方程的求解归结为可分离变量的微分方程；而非齐次线性微分方程基于常数变易法，或称为待定函数法，直接得到非齐次线性微分方程的通解或者基于线性微分方程解的结构求得其一个特解来求通解：
第三类：全微分方程及基于曲线积分与路径无关的积分法，或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的方法（这部分内容在曲线积分有关积分与路径无关的内容中讨论）。
第四类：可降阶的微分方程。高等数学课程中讨论的三类可降阶的微分方程其实也可以归结为一阶微分方程，通过函数变换的方法最终都归结为一阶微分方程逐阶积分得到方程的解。
二、求解一阶微分方程的基本思路
1．改写结构，对比标准可求解类型
适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构：可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程(方法曲线积分部分讨论)。
2．换元转换，构建标准类型
对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程转换为一阶微分方程标准类型来求解。
【注】换元表达式的选取一般不具有普适性的技巧，就是通过不断改写微分方程表达式，不断尝试选取不同表达式换元，直到将微分方程换元后转换为已知类型结构为止！其中齐次方程转换为可分离变量的方程求解，伯努利方程转换为线性微分方程求解就是典型的换元求解思路。
3．变更因变量与自变量地位
然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路的基础上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解。
【注】除了以上方法，还可以考虑升阶法，即对一阶微分方程等式两端求导，将一阶导数微分转换为二阶、甚至更高阶微分方程来求解。具体实例参见后面推文中的例题与练习。
参考课件
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