第40讲：《微分方程求解的参数法与常系数线性微分方程组的解法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、欧拉方程及其求解方法

具有结构

的变系数线性微分方程称之为欧拉方程.

令，则，于是有

记

即用乘以一个函数，就是对该函数求阶导数；并且关于符合乘法运算律和分配律，即有

所以

用数学归纳法可以验证，

将原欧拉方程中全部用上式代入，则可以将原方程转化为以为函数，为自变量的常系数线性微分方程

即

于是，就可以通过常系数线性微分方程的求解方法求该方程的通解了。

【注1】解可以写成参数方程描述形式，即

当然一般将其回代到上面的函数得到关于的函数通解表达式.

【注2】欧拉方程其实就是一种线性微分方程的结构，只不过不具有直接的显性结果，需要换元变换得到。

二、微分方程求解的参数方程方法

对于一些特殊结构的微分方程可以通过引入参数的方法来求解得到微分方程的通解，其实欧拉方程的方法也可以说是一种参数方程的方法。

通常适用的微分方程结构为包含有中两个不同项的微分方程，通过设其中一项为适当的参数表达式，通过微分方程等式解出另外一项的参数表达式，从而依据复合函数求导，将导数描述为参变量的导数来求通解的思路与过程. 常用的结构如

或者包含有因式

的微分方程，或者等因式的微分方程，具体应用实例参见课件中的例题与练习.

三、常系数线性微分方程组举例

常系数线性微分方程组解法步骤:

第一步：用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个函数的高阶方程；

第二步：求出此高阶方程的未知函数；

第三步：把求出的函数代入原方程组，一般通过求导得其它未知函数.

【注1】一阶线性方程组的通解中，任意常数的个数= 未知函数个数

【注2】如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系.

四、微分方程模型求解实际问题的基本步骤

(1)确定模型类型：注意到实际问题中与数学中的导数相关的常用词语。比如运动学、化学反应中的变化率，速度、速率、加速度，经济学中的边际，生物学、金融、经济等领域中的增长，放射性问题中的衰变以及一般提及的改变、变化、增加、减少等，在几何上则有切线、法线，这样的问题都可能与导数或微分相关，有可能通过建立微分方程模型来反映其规律。 

(2)转换描述并统一量纲：梳理出实际问题中涉及到的各种量，并把相关的文字语言描述转换为数学语言与符号描述形式。如果牵涉到的量有单位，则统一量纲。 

(3)确定因变量与自变量：根据所求结果，确定与结果相关的两个量，一个为待求函数变量；一个为自变量；而与变化率相关的量即为待求函数的导数。 

(4)建立微分方程：分析问题中所涉及的原理或物理定律，根据已有变化率描述；或者借助微元分析法，给自变量一个增量，建立因变量增量与自变量增量相关的等式，并由平均变化率取关于自变量增量趋于0的极限，得到包含待求函数导数的相关等式，即微分方程描述形式。 

(5)确定初值条件：根据问题，找出并明确可能的初值条件；值得注意的是：有些初值条件不一定直接给出，可能在问题的解决过程中获得。 

(6)写出模型：写出由微分方程和初始条件构成的常微分方程初值问题模型。 

(7)求解初值问题：求初值问题的解，给出问题的答案。

参考课件

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