第03讲：《平面及其方程》内容小结、课件与典型例题与练习

一、法向量

垂直于平面的一个非零向量称为这个平面的法向量．

• 与法向量平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量，平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直.
• 单位法向量可以取为方向相反的两个.

二、平面的点法式与向量式方程

设为平面上的已知点，为法向量，为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：

如果取, ，则得平面的向量式方程：

【注】由于法向量与平面上定点取得不同，平面的点法式方程描述不唯一.

三、平面的三点式方程

设, , 是某平面上不共线的三点， 为平面上的任一点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：

四、平面的截距式方程

如果三点取为坐标轴上的点, , ，或者已知平面在三坐标轴上的截距为，则平面的截距式方程为

【注】并不是所有平面方程都可以描述为截距式方程.

五、平面的一般式方程

三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：

并且平面的法向量为.

【注1】一般求平面的方程时写出的结果为平面的一般式方程，即三元一次方程表达式. 在求平面方程的时候也一般可以直接设平面方程为一般式方程！尤其一些具有特定特征的平面还可以根据其特定位置特征设定为一般式方程.

【注2】平面的参数式方程. 平面也可以用两个参变量的表达式来描述，具体参见课件！

六、点与平面的位置关系

设平面π的方程为

是空间的任意一点，则

(1) 如果点的坐标满足方程，即有

则点在平面上.

(2) 如果点不在平面π上，则点到平面π的距离为

七、平面与平面的位置关系

设两平面的方程为

(1) 两平面平行，有

(2) 两平面重合，有

(3) 两平面垂直，有

(4) 两平面夹角一般定义为两法向量所成的锐角，即，且

参考课件

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