第09讲：《多元函数的基本概念、极限与连续》内容小结、课件与典型例题与练习
1、邻域基本概念
设 是空间 中的一点， 是一个正常数，称空间 中的点集
为点 的一个 邻域，其中，点 称为该邻域的中心， 称为半径．
【注1】 点 的一个 邻域是 中距离 不超过 的点的集合．如果在点 的 邻域中去掉中心点，则称所得集合为点 的去心 邻域，记作 ，即
特别地，当 时，邻域与一维数轴上点的邻域的定义一致．
当 时，点 的 邻域为平面点集：
在几何上它表示一个以 为圆心、 为半径的圆周所围成的不含圆周本身的圆形区域．
当 时，点 的 邻域为空间点集：
在几何上它表示一个以 为球心、 为半径的球面所围成的不含球面本身的球形区域．
【注3】 在实际应用中，除了用
表示邻域外，也将邻域描述为
其中 , . 对于两个、三个变量，则分别对应于正方形区域与立方体区域。
2、聚点
若对任意给定的 , 点 的去心邻域 内总有集合 中的点，则称 是 的聚点.
3、二元函数的几何表示
若二元连续函数 的定义域为区域 ，那么，它在几何上就表示以 面为投影区域的三维空间中的一张曲面．在 平面上可以描述为区域 上的等值线图。
用平面 （ 是常数）去截割这个曲面，截得的截痕（曲线） 的方程为
曲线 在 平面上的投影是曲线 ，它在 平面上的方程是
对于 上所有的点，函数 所对应的函数值都是 ．曲线 称为函数 的等值线或称等高线， 称为高程．当 取不同值时，就可以画出函数 对应的一系列等值线，将这些等值线想象地往竖直方向拉出高度 ，就能得到该函数所表示的曲面的大致轮廓了．由这些等值线很好地反应了曲面的特征，对于由区域 内的等值线构成的图形也称为二元函数 的等值线图。
4、二元函数极限存在的几种等价描述
5、判定二重极限不存在的思路
证明二元函数极限不存在，一般通过取特殊路径的方式来验证。如果在选定的路径上二元函数的极限不存在，则原极限不存在；如果在选定的两条路径上，函数有不同的极限值，即极限值不相等，也说明函数极限不存在。
路径的选择一般为：
(1) 坐标轴的方向：即 轴方向， 和 轴方向，；它们又可分为
的正向，即与的负向，即 的正向，即与的负向，即；
(2) 沿着y=kx直线方向；
(3) 沿着抛物线方向，如 或 （其中 经常取为）对应的曲线方向等；
至于具体选择怎样的方法，一般根据函数的表达式，从简单到复杂逐步尝试；如果利用特殊路径得不出相应的结论，则可以直接使用极坐标的方法来进行判定。
(4) 极坐标方法。如果代入极坐标后，函数化简后的表达式的极限与极角的取值有关，则也说明极限不存在，极角也可以视为趋于某个变化过程中的量。
6、二重极限、累次极限关系
(1) 二重极限存在，则点沿任意路径趋于定点时的极限都存在且相等.
(2) 二重极限与累次极限的关系为：
如果它们都存在，则三者相等； 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
具体例子可以参考课件.
【注1】 一元函数极限的运算法则适用于多元函数极限的极限；多元函数的极限存在性的讨论一般建议首先考虑极坐标方法，特别注意极角的任意性和可变性，具体可以参考课件中的练习和后续推出的对应练习参考解答；对于极限存在的情况下求极限一般也首先可考虑极坐标方法。
【注2】 在二重极限的 定义中，圆邻域也可以换成方形邻域，即
利用定义证明二重极限的思路与方法与一元函数极限定义证明极限结论的思路与步骤完全一致.
6、函数的连续性
初等多元函数在定义区域内都是连续的. 闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质：
有界性定理、最值定理、介值定理
有关于等值线、等值面的基本定义及图形类型判定和空间曲面类型的判定的具体步骤与详细讨论，请参见的分析、讨论与应用视频教学内容：
第2节：空间曲面类型的判定与等值线、等值面
常见空间曲面的方程及图形特征(18分钟) 等值面与等值线的基本定义及图形类型的判定(6分钟)
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参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！
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