第14讲:《多元函数微分学的几何应用》内容小结、课件与典型例题与练习
1、空间曲面的切平面与法线
空间曲面:
曲面上点 处的法向量可以取为
依据平面的点法式方程,曲面 上点 处的切平面方程为
依据直线的点向式方程,法线方程为:
空间曲面:
曲面方程可改写为三元方程描述形式
曲面上点 处的法向量可以取为
曲面 上点 处的切平面方程为:
曲面 上点 处的法线方程为
空间曲面为参数方程描述
曲面上点 对应的参数为 ,则曲面上点 处的法向量可以取为
类似可以直接写出切平面方程与法线方程.
2、空间曲线的切线与法平面
空间曲线为参数式方程
设空间曲线 的参数式方程为
则在点处曲线的切线的方向向量可以取为
从而可得切线方程为:
法平面方程为:
空间曲线为一般式方程
设空间曲线 的一般式方程为
是曲线 上的一个点,假定对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式
则方程组在点
描述.曲线切线的方向向量可以取为
两个导数的计算可以直接通过对方程组两端关于
解得. 并且可得计算公式
所以,切向量可以取为
【注1】 在实际计算过程中,一般不使用公式,而是采取直接利用方程组求解,尤其是求具体点的切向量时,将具体坐标点代入方程组后直接求导数更加方便,有效. 类似,也可以对得到与上面一致的结论.
第一届非数学类预赛()
第3题:曲面的切平面计算思路与方法第六届非数学类预赛()
第2题:空间曲面切平面与法线方程的一般计算思路与方法▪ 由曲面一般式方程求切平面与法线方程▪ 由曲面的参数式方程求切平面与法线▪ 曲面的切平面方程计算实例分析与讨论第八届非数学类预赛()
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参考课件
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