第22讲：《三重积分的基本概念与直角坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、三重积分的物理意义与几何意义
物理意义：当被积函数 时，表示体密度为 的，占有空间立体区域 的物体的质量.
几何意义：当被积函数 时，表示占有空间立体区域 的空间立体的体积.
【注】 其他实际意义根据被积函数描述的对象不同而有不同实际意义.
二、三重积分的基本性质
三重积分的积分性质与二重积分相似。比如三重积分的积分中值定理为：设 在有界闭区域 上连续， 为 的体积，则存在 ，使得
三、区域对称性与三重积分的计算性质
如果三重积分的被积函数整体，或者经过线性运算拆项后的某项关于某个变量，或者三个变量的具有奇偶性；积分区域整体，或者经过分割以后的某个部分关于坐标面或原点对称；积分区域具有轮换对称性，则三重积分可以借助如下“偶倍奇零”或者“轮换对称性”的计算性质来简化三重积分的计算.
1、三重积分“偶倍奇零”的计算性质
如果三重积分的被积函数满足
即被积函数分别关于 变量、 变量、 变量、三个变量分别具有奇偶性；而相应的积分区域分别关于 坐标面对称、 坐标面对称、 坐标面对称、 原点对称，并记其中一侧的区域为 ，则
当被积函数为奇函数时，有
当被积函数为偶函数时，有
2、三重积分的“轮换对称性”的计算性质
当描述一个积分区域的所有方程或不等式轮换所有 变量时，
方程与不等式的描述形式不发生变化，如 的球域，则在这样区域上的三重积分满足轮换对称性：轮换被积函数的所有变量，积分值不变，即
同样，如果积分区域关于平面 对称，则对于 变量具有轮换对称性，即
类似有积分区域关于平面 ， 对称的轮换对称性计算性质，也即交换描述积分区域的等式或者不等式的两个变量，描述形式不变.
四、直角坐标系中空间区域的分类与数学描述
与平面区域分类的命名方式及特征确定方式类似，为名称的统一，在空间直角坐标系下，将空间立体区域分成 型区域（或关于 轴的区域，以下类似），型区域和 型区域。
1、型区域及其数学描述
设有空间立体区域 ，并设该区域在 坐标面的投影区域为 ，如果在 内任取 （即点 不在 的边界上），过点 做与 轴同向的直线穿过立体区域，如果直线穿过区域 且与区域 的边界曲面的交点不多于两个，则称立体区域 为 型区域，如下图.
如果直线穿过区域 时，与上下边界曲面的交点的竖坐标，即 的值都有统一的关于 变量的函数描述形式，则区域为简单 型区域。简单的 型区域可以用不等式描述为
其中 通过将区域投影到 坐标面得到，区域在 坐标面上的投影区域就是 变量的取值范围，它可以通过分类成平面直角坐标系中或极坐标系中的简单平面区域，然后描述成不等式的描述形式。
变量 的取值范围一般为 变量的表达式，它通过在 变量的取值范围内任取一点做与 轴同向的直线穿过空间立体区域 得到，也即立体区域上限边界曲面所对应的、用 变量描述的函数表达式。所以，为获取简单 型区域的 变量取值范围，首先需要将区域 的上下边界曲面描述为 变量的函数表达式。
2、型和 型区域及数学描述
类似，可以通过将空间立体区域投影到 面， 面，并在投影区域内任意取点，分别做与 轴、 轴同向的直线穿过立体区域来判定区域是否为 型区域和 型区域以及是否为简单 型区域和简单 型区域。
对于简单 型区域和简单 型区域，它们的不等式描述形式分别为
变量范围的确定与简单 型区域类似.
【注】 如果区域不为相应的简单类型区域，则可以通过母线分别平行于坐标轴的柱面对其分割，分割成几个简单区域的并来讨论。
五、三重积分的先一后二的“投影法”的基本步骤
以简单 型区域（或称为关于 轴的简单区域）为例：首先将所有边界曲面方程改写成 是 的函数表达式，并确定相应的可能的 的取值范围.
第一步：投影
作出空间区域 的图形，将 投影到 平面上，得到投影区域 ，并对投影区域进行分类，写出明确的不等式描述形式，如:
第二步：确定关于变量 的积分限，并计算关于 的定积分在投影区域 上任取一点 ，过 作平行于 轴的直线，该直线顺着 轴的方向从曲面 上点 处进入 ，在曲面 上点 处离开 ，得
计算关于 的定积分
对计算得到的结果，以 为积分区域计算二重积分，得三重积分的值．以上步骤用公式表示为
【注】 对于立方体积分区域：对于这种情形，如果被积函数可变量分离，则三重积分即为三个定积分的乘积，即被积函数可以描述为三个变量的函数的乘积，如
则六、三重积分先二后一的“截面法”的基本步骤
以先对 变量求二重积分，再对 变量求定积分为例：
第一步：将 投影到 轴上，得 轴上的投影区间 ；
第二步：过 上任意点 作垂直于 轴的平面，该平面与 的截面在 平面上的投影区域为 ． 的方程即为边界曲面的方程中将 变量看成是常数对应的二元方程描述为边界曲线的平面区域.
第三步：在 上借助二重积分的计算方法计算
其中 在这里为常数。
第四步：对计算得到的结果在 上求定积分，即
七、三重积分的直角坐标计算方法注意事项
【注1】 对于直角坐标系下三重积分的计算，积分区域简单类型的确定非常关键，根据简单类型不等式的描述形式，就可以直接写出三重积分的累次积分表达式，从而通过定积分计算的方法计算得到三重积分的结果。
【注2】 对于其中出现的先二后一与先一后二计算过程，对于考虑的二重积分，可以根据积分区域选择二重积分的直角坐标计算方法，或者极坐标计算方法。
【注3】 在具体的三重积分计算过程中，在考虑积分区域的分类之前，一般事先最好仔细考察三重积分的被积函数与积分区域的特点，如果发现积分区域整体，或者通过分割后的部分具有关于坐标面对称特征；并且被积函数整体，或者通过加减拆项后，部分函数具有与区域对称性相匹配的变量的奇偶性时，则可以先考虑借助“偶倍奇零”的计算性质来简化计算过程；同样，如果积分区域关于 变量具有轮换对称性时，也可以考虑轮换对称性来简化或转换积分计算。
关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：
• 第1节：三重积分计算的一般思路与步骤
• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析
• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析
• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
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参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“重积分内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！
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