第23讲:《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、柱面坐标及与直角坐标之间的关系
三重积分的柱面坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合,直观地讲,就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述.
以 面上的坐标分量用极坐标描述为例, 不变的柱面坐标与直角坐标之间的关系为
其中 的取值由点在 面上的投影点所在的象限确定。关系图如下所示。
各坐标变量等于 时对应的坐标面图形分别为:
: 面包含 轴和 正半轴的半平面;
: 轴
: 面,即极坐标面
坐标变量取常值时对应的曲面分别为:
:由 面上的 对应的射线和 轴确定的半平面;
:中心轴为 轴,与 轴的距离为 的圆柱面;
:与 面,即极坐标面平行的平面。
具体形状与点的位置关系如下图所示。
二、三重积分的柱面坐标计算方法与步骤
1、适用的三重积分类型
被积函数为单个变量的一元函数,或包含有两个变量的平方和或者两个变量相除,如
等结构;或者积分区域由过坐标轴、母线平行于坐标轴的半平面,圆柱面,平行于坐标面的平面围成的时候,这样的三重积分可以考虑柱面坐标计算方法,即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时,则考虑柱面坐标计算方法。
2、适用的计算思想
其实三重积分的柱面坐标计算方法可视为三重直角坐标系中“先二后一截面法”或“先一后二投影法”计算方法中,那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述,那就是柱面坐标计算方法;否则称为直角坐标方法,可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。一般能够使用“先一后二”(投影法)计算的三重积分可以考虑使用柱面坐标计算方法。
3、具体的计算步骤
第一步:根据积分区域特征与被积函数表达式,选择确定用极坐标描述的两个变量(如 变量);
第二步:借助柱面坐标与直角坐标的关系,将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱面坐标方程,并将被积函数表达式描述为柱面坐标变量表达式。
第三步:根据三重积分直角坐标系中“先一后二”的计算方法确定非极坐标变量的上下限,得到一个定积分描述形式,如
第四步:将结果作为投影区域上的被积函数,并用极坐标的方法计算二重积分,假设积分区域是简单的 型区域,则有
三、球面坐标与球面坐标系及与直角坐标间的转换
空间点 的位置可由 这三个数确定,并称这三个数为点 的球面坐标,一般记作 ;称由原点及球面坐标确定的坐标系为球面坐标系.
以 与
当
当
空间点直角坐标与球面坐标之间的关系为:
四、球面坐标系下区域的分类
设在球面坐标系中有空间立体区域
类似地,在
同样,在
五、空间区域的球面坐标不等式描述
考虑到球面坐标系下描述的复杂性,一般在球面坐标系中只考虑
假设空间区域
则可以得到如下确定简单
第一步:写出所有围成区域
第二步:将区域
第三步:任取
其中
第四步:对于确定的
如下图。
于是,可得简单
更详细的球面坐标下区域的分类及不等式描述构建的思路与典型例题分析可以参考推文:三重积分计算基础:球坐标系中空间区域分类探讨与应用实例分析
六、三重积分球面坐标计算方法与步骤
1、一般思路与步骤
在确定坐标系后,在正式借助球面坐标计算方法构建三重积分的累次积分表达式之前,与所有的积分一样,首先考察在直角坐标系中积分区域的对称性,考虑是否可以借助“偶倍奇零”的计算性质简化积分计算,或者借助图形的轮换对称性转换最终需要计算的积分模型,使得被积函数更适合使用球面坐标计算。
另外,借助对坐标面的对称性,有时候还可以将不具有轮换对称性的区域转换为具有轮换对称性的区域,比如当被积函数关于
上的积分转换为第一卦限内的,对三个变量有轮换对称性的八分之一球体
上的积分;而当积分区域具有轮换对称性时,
第一步:转换边界曲面方程描述。将围成积分区域的边界曲面方程用球面坐标变量描述。
第二步:在球面坐标系中确定积分区域类型,选择积分计算次序。
第三步:确定积分变量上下限,参照球面坐标系下空间区域的定限方法确定各球面坐标变量的积分上下限。
第四步:计算累次积分得到最终结果。
2、使用球面坐标计算三重积分注意事项
【注1】 球面坐标系下空间区域的分类及定限方法,球面坐标系及球面坐标与直角坐标之间的关系参见本文最后列出的在线课程列表中的详细讨论。
【注2】 当被积函数为三个平方项的和,或者能够借助积分运算性质转换为三个平方项的和描述的被积函数,从被积函数的角度可以考虑选用三重积分的球面坐标计算方法;当积分区域由顶点在原点的圆锥面、过坐标轴的平面和球面所围的积分区域时,可以考虑选用三重积分的球面坐标计算方法。当然,如果三重积分使用其他计算方法不方便计算的时候,则也可能需要考虑球面坐标的计算方法。
【注3】 不管是使用直角坐标方法,还是柱面坐标或者球面坐标方法计算三重积分,在构造累次积分表达式之前,应该充分考虑积分区域整体或者部分关于坐标面或者关于原点的对称性,同时结合考虑被积函数整体或者通过加减运算拆项后的函数的奇偶性,如果匹配“偶倍奇零”计算性质要求,则首先考虑先借助“偶倍奇零”性质简化计算;另外也考察积分区域是否具有“轮换对称性”,如果有,则考虑使用轮换对称性转换积分计算;然后再考察或者尝试三种累次积分方法,选择最适合的方法构造累次积分表达式,完成三重积分的计算过程。
关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频:
• 第1节:三重积分计算的一般思路与步骤
• 第2节:计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析
• 第3节:柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
• 第4节:计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析
• 第5节:球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
另外在“、、全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨!
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参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文,直接点击文首的话题“重积分内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表!
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