第25讲：《重积分的应用》内容小结、课件与典型例题与练习
一、重积分应用建模的基本思想与步骤
(1) 基本思想：元素法（微元法）
(2) 建模步骤：分割取近似，作和求极限
积分可计算的量：所求量分布在有界闭域上的整体量，对区域具有可加性；
用重积分解决问题的方法：用微元分析法 (元素法)，从积分定义出发建立积分模型。
二、二重积分的几何意义
1. 平面区域的面积
平面区域 的面积为被积函数为 的二重积分，即
2. 曲顶柱体的体积
被积函数 的二重积分，即以 面上的平面区域 为底，以其边界为准线、母线平行于 轴的柱面为侧面，顶面为 的描述的曲面的曲顶柱体的体积，即
三、三重积分的几何意义
空间区域 的立体体积为被积函数为 的三重积分，即
四、空间立体体积的积分模型
基于曲顶柱体的体积计算公式，有如下立体体积的计算模型：
1．简单 型立体区域的体积
即空间区域 可以描述为
的立体区域 的体积为
2．简单 型立体区域的体积
即空间区域 可以描述为
的立体区域 的体积为
3．简单 型立体区域的体积
即空间区域 可以描述为
的立体区域 的体积为
【注】 对于其他立体，可以通过母线平行于坐标轴的柱面将其分割为一些简单区域，然后借助以上模型分别计算再求和。
五、曲面面积的积分模型
基于“以平代曲”，以切平面的面积近似曲面的面积，对于简单类型的曲面，有如下曲面面积的计算模型：
1．简单 型曲面的面积
即曲面 可以描述为
的曲面 的面积为
2．简单 型曲面的面积
即曲面 可以描述为
的曲面 的面积为
3．简单 型曲面的面积
即曲面 可以描述为
的曲面 的面积为
4. 三元方程描述的曲面面积计算公式若光滑曲面方程为 且 ，则由
得曲面面积计算公式为
5．球坐标系下的曲面面积的计算球坐标系下，面积微元可以近似为半径为 的球面的表面积来计算，即有
从而有
如求球心在原点，半径为 的球面的面积计算。
【注】 对于其他曲面，可以通过母线平行于坐标轴的柱面将其分割为一些简单区域，然后借助以上模型分别计算再求和。
6. 利用曲面的参数方程求曲面的面积
曲面 由参数方程
不全为零，则曲面 的面积为
其中
六、重积分的物理应用——质量
1．平面薄片的质量
基于物理上的质量计算公式，即均匀面密度为，面积为 的平面薄片的质量 计算公式，即
面密度为 ，分布在 坐标面上区域 的平面薄片的质量为
如果将平面区域所在区域定义为 面或 面，则有
2．空间立体的质量
基于物理上的质量计算公式，即均匀体密度为，体积为 的空间立体的质量 计算公式，即
体密度为 ，占有空间区域 的空间立体的质量为
七、质心与形心的计算
质心又称为重心，它与物体的平衡状态有关，在研究该物体的有关力学系统的某些问题时，等价于研究将物体的质量全部集中在质心的质点的相关力学问题．构建空间物体的质心计算模型基于物理上分布于空间位置 的质点系 的质心计算公式，即
1．空间立体的质心计算模型体密度为 ，占有空间立体区域 的立体的质心计算模型为：
【注】 当物体的密度为常数 时，质心称为物体的形心，此时有
其中 为立体的体积。利用该公式，对于规则图形的积分区域，在知道形心坐标的情况下可以用来计算变量一次方的积分. 具体参见课件例题.
2．平面薄片的质心
面密度为 ，占有平面区域 的平面薄片的质心计算模型为：
特别地，当 为常数，即平面薄片密度分布均匀时，得到
其中 为该薄片的面积．此时的质心只与薄片的几何形状有关，质心称为平面薄片的形心。
八、转动惯量
当物体绕轴转动，用来描述转动物体所储存的能量的物理量是转动惯量（或称为惯性矩、二阶矩）．
构建转动惯量的计算模型基于如下计算公式：
它表示质量为 ，距离轴 的距离为 的质点绕轴 转动所产生的转动惯量。
1．平面薄片转动惯量计算模型
面密度为 ，占有平面区域 的平面薄片关于 轴、 轴、原点的转动惯量计算模型为：
2．空间立体转动惯量计算模型体密度为，占有空间立体区域 的立体关于 轴、 轴、 轴、原点心计算模型为：
【注】 使得
成立的，，称为物体关于相应轴的旋转半径，其中 为物体的质量。
九、物体对质点的引力积分模型
基于质点间的万有引力计算公式、力（向量）的分解和合成计算公式，即
其中 为质点间的引力 关于 轴、 轴、 轴方向上的分力， 为力的三个方向角。
基于共线力的合成为力的代数和的结论，以三个坐标轴上的分力代数和构成的向量
为最终的物体对质点的引力，引力的大小为
体密度为 ，占有空间立体区域 的立体对位于 ，质量为m的质点的引力在三个坐标轴方向分量的大小分别为
【注】 平面上的引力，即相应一个分量的坐标为0即可.
关于重积分、重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：
• 第1节：三重积分计算的一般思路与步骤
• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析
• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析
• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析
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参考课件
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