第26讲:《对弧长的曲线积分及基本计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义
1、构建对弧长的曲线积分模型
对弧长的曲线积分即在微元弧微分 分布的曲线上求分布的部分量的和。
比如,小段 的质量近似量,即为 上一点 的线密度 与弧长的乘积,总的曲线型构件的质量 即为 分布的曲线 上求和,从而得到对弧长的曲线积分模型为
其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况,即 的情形。
【注】 对弧长的曲线积分的性质:
平面上对弧长的曲线积分性质与二重积分一致,把二重积分换成平面曲线上的对弧长的曲线积分即可
空间中对弧长的曲线积分性质与三重积分一致,把三重积分换成空间曲线上对弧长的曲线积分即可
2、对弧长的曲线积分的几何意义
(1) 当 时,表示平面积分曲线段 的长度;当积分曲线为空间曲线 ,则表示空间曲线段 的长度.
(2) 当 时,表示以 面上的曲线 为准线,母线平行于 轴,顶部为 点构成的曲线(即高为 )的曲顶柱面片的面积。
3、对弧长的曲线积分的物理意义
当 , 时,分别表示平面曲线段 与空间曲线段 的质量。
【注】 根据被积函数描述的实际意义不同,积分具有不同的实际意义.
二、对弧长的曲线积分的计算法
不管是空间曲线还是平面曲线,曲线积分的计算公式可以统一描述为
其中 , ,即由曲线 的参数方程表达式分量构成的向量值函数描述形式,其中 表示向量值函数
1、积分曲线为平面曲线的情形
当 , ,
则对弧长的曲线积分为
当 , , ,
则对弧长的曲线积分为
当 , ,则
则对弧长的曲线积分为
2、积分曲线为空间曲线的情形当
则对弧长的曲线积分为
【注】三、对弧长的曲线积分物理应用建模思路
借助于积分模型构建的元素法和具体步骤,即:
分割取近似,作和求极限
容易得到曲线型物件关于质心、转动惯量与引力的计算模型:
对于平面曲线,只要将二重积分中相应的模型中的积分符号换成一个,积分区域
换成积分曲线 ,面积微元 换成弧微分 即可.对于空间曲线,只要将三重积分中相应的模型中的积分符号换成一个,积分区域
换成积分曲线 ,体积微元 换成弧微分 即可。
四、对弧长的曲线积分的一般计算思路与步骤
关于对弧长的曲线积分,不管积分曲线是平面曲线还是空间曲线,其基本计算方法可以统一归结如下几个步骤:
第一步:被积函数定义在积分曲线上,可以借助描述积分曲线的等式简化,转换积分模型
第二步:考察积分曲线的对称性(平面曲线关于坐标轴、空间曲线关于坐标面的对称性以及轮换对称性),借助“偶倍奇零”和轮换被积函数变量简化、转换积分模型,简化积分计算. 平面曲线上对弧长的曲线积分性质与二重积分一样;空间曲线上对弧长的曲线积分计算性质与三重积分一样.
【注】 第一步、第二步没有绝对先后顺序,也不一定非要考虑。
第三步:写出积分曲线的参数方程,并写出相应的参变量取值范围。
第四步:将弧微分写成参变量微分表达式。
第五步:将参数表达式和弧微分直接代入被积表达式,以参变量的取值范围的左端点为积分下限,以右端点为积分上限,将对弧长的曲线积分写成定积分表达式(积分下限一定小于积分上限).
第六步:利用定积分的计算方法计算定积分.
【注】 如果积分曲线是由分段光滑的曲线构成,并且不能用一个统一的参数方程来描述的话,则要对积分曲线进行分段,如
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文,直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表!
相关推荐
● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项,主要内容包括各章节内容总结、课件,题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等!
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项
● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”,参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程,具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座 选项了解!
微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台!支持咱号请点赞分享!
↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容