第27讲：《对坐标的曲线积分及基本计算法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、对坐标的曲线积分的物理意义

1．变力沿曲线作功

某一物体沿着位于力场

内的路径 从 移动到 ，则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为

其中 为所取弧长微元 从运动起点 到终点 的位移，该微元段的力近似为该微元上点 处的力. 这样，由数量积的物理意义，可以得到如上的积分模型(分割取近似，作和求极限)，并根据求和的性质可得

对于平面力场和平面运动路径，如果

则物体在力场 中沿曲线路径 从 移动到 作功的计算公式

2．相关计算性质

(1) 积分的方向性：由物理上作功的方向性，有

(2) 方向的一致性：对于分段曲线积分的可加性，注意保证方向的一致性，其起点、终点首尾相接。

(3) 注意使用图形的对称性要考虑方向也要求对称，由于条件限制很容易用错，所以一般不建议使用！

二、对坐标的曲线积分的直接计算法

第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。

第二步：直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。

如平面曲线 与空间曲线 的参数方程为：

则有

第三步：计算定积分得到最终积分结果。

【注1】 曲线的参数方程描述为向量值函数

则平面曲线积分与空间曲线积分的定积分计算式有统一的描述形式，即

【注2】 如果积分曲线不能用一个参数方程描述，则对积分曲线进行分段处理，并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值，然后依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。

【注3】 对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积表达式！

三、两类曲线积分之间的关系

将曲线 的切向量 化为单位向量

如果曲线的方向是曲线参数值增大的方向，则有

即有

对于平面曲线积分，有

对于空间曲线积分，有

其中 为与积分曲线 同向的曲线的单位切向量； 为与积分曲线 同向的曲线的单位切向量；如果方向相反，则取负号.

如果单位切向量 与曲线同向，则取正号，如果反向，则取负号！具体可以参见课件中的例题及给出的参考解答.

四、流量与环量

设在平面上某区域 中分布一向量场

为 内的简单光滑闭曲线，其方程为

参数 由 变至 对应 的逆时针方向. 称积分

分别为场沿曲线 的环量和通过 的流量，其中 为 在 处与 方向一致的单位切向量，即

曲线方向为参变量增大的方向，则取正，否则取负； 为 在 处指向外侧的单位法向量.

假设向量场 为流速场，则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线 流动的速度和通过 的流体流动的速度.

由两类曲线积分之间的关系，有：

环量可表示为对坐标曲线积分式

流量可表示为对坐标的线面积分

其中 为单位切向量与单位法向量.

参考阅读：高等数学问题中平面曲线方向的确定与取向

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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