第33讲：《斯托克斯公式及其应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、斯托克斯公式

定理（斯托克斯定理）(1) 函数 , , 在空间有界闭区域 内有连续的一阶偏导数；

(2)   为 中的光滑有向闭曲线， 是 中由 张成的光滑曲面；

(3)   的方向和 的法向构成右手系（即右手四个手指指向曲线方向时，大拇指所指方向应该为曲面取向），则有

上面的公式称为斯托克斯公式，它是格林公式在空间的推广．其中 为与曲面 同向的曲面法向量的单位向量； 为与曲线 同向的曲线的切向量的方向余弦.

【注1】 使用该公式时，同样必须满足定理中列出的三个条件。另外， 的取法不唯一。

【注2】 格林公式是斯托克斯公式的特殊情况。

二、使用斯托克斯公式计算空间曲线积分

第一步：判断积分曲线是否为封闭曲线，如果不是，可以考虑添加简单辅助线封闭曲线，一般方向取为与原积分曲线方向一致。

第二步：选取一以封闭曲线为边界曲线的空间曲面，方向依据“右手法则”（即右手四个手指指向曲线方向时，大拇指所指方向应该为曲面取向）取定曲面方向（曲面的取法不唯一，一般选择简单的曲面，比如平面、球面等）。

【注】 添加的辅助线和选取的曲面要保证在包含曲线和曲面的一个区域内积分的被积函数要有连续偏导数。

第三步：在保证满足斯托克斯公式三个前提条件（即封闭性，方向性和偏导数的连续性）下，将曲线积分借助斯托克斯公式转换为曲面积分（可考虑对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分）。

第四步：依据曲面积分的计算方法计算曲面积分，得到计算结果。

【注】 如果添加了辅助线，记得要将添加的积分曲线上的积分减掉来得到最终结果。

三、空间曲线积分与路径无关的四个等价描述

定理 设 是空间一维单连通域, 函数 , , 在 内有一阶连续偏导数，则下列四个描述等价：

(1) 对 内任一分段光滑闭曲线 ，有

(2) 对 内任一分段光滑曲线 ，积分

与路径无关.

(3) 在 内存在某一三元函数 ，使得

(4) 在 内处处有

也即

其中 .

【注】 在 时，积分与路径无关，从而可以自主选择合适的路径计算对坐标的曲线积分，并且在有被积表达式原函数的情况下，有

其中， .

四、几个重要概念及计算公式

1、向量微分算子(Hamilton算子)

2、梯度(向量)

对三元函数 ：

3、散度(数量)

对三个三元函数构成的向量 ：

4、旋度(向量)

对三个三元函数构成的向量 ：

旋度也记作 .

5、方向导数

一个可微函数 与方向 ：

五、斯托克斯公式的物理意义

设有向量场 ，则斯托克斯公式可以描述为

该公式表明向量场沿曲线 的环流量（左侧）等于向量场的旋度场穿过曲面 通量（右侧）. 其中 为与曲面 同向的曲面法向量（一般直接取单位向量）； 为与曲线    同向的曲线的切向量（一般直接取单位向量）.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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