第36讲：《一般项（变号）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、交错级数及收敛性的判定
交错级数即正负项交替出现的级数，其收敛性判定首选方法为莱布尼兹判别法，即不包含符号的通项单调递减趋于 ，则级数收敛.
莱布尼兹判别法：设 ，如果数列 单调减少且 ，则交错级数级数
收敛，且 ；级数收敛时，记其和与前 项部分和分别为 ，则
【注】 莱布尼兹判别法只能用来判定交错级数收敛，不能用于判定发散.
二、一般变号级数
一般变号级数是指构成级数的项中有正有负的级数，当然也包括了交错级数. 如果一般变号级数的所有项加上绝对值后构成的绝对值级数收敛，则原级数一定收敛，并且称原级数绝对收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
【注1】 如果用比值、根值判别法直接判断一个级数对应的绝对值级数发散，则原级数一定发散，因为一般项不趋于 .
【注2】 由于绝对值级数收敛原级数一定收敛，用比值、根值判别法判定绝对值级数发散级数一定发散. 因此，一般变号级数的敛散性的判定首选用比值、根值判别法来判定其对应的绝对值级数的敛散性！在该思路失败的情况下再考虑其它方法来确定级数的敛散性.
三、绝对收敛级数的性质
绝对收敛的级数符合加法的交换律和乘法的分配律，即绝对收敛的级数可以任意交换项相加其敛散性与和值不变，两个绝对收敛的级数相乘构成的级数仍然收敛，并且和就为两个级数的和的乘积. 由于绝对收敛级数满足交换律，故乘积构成的级数常描述为柯西乘积，即
【注1】 条件收敛的级数可以通过调整级数的项的前后次序收敛到任意指定的数. 即条件收敛的级数不符合加法交换律.
【注2】 数值级数收敛性的判定给出了极限为零数列的一种证明与计算方法. 将数列视为级数的通项，如果能够判定级数收敛，则数列收敛并且极限值为 ；另外也有数列与级数收敛性一致的一个等价描述. 即
(1) 如果级数 收敛，则 ；
(2) 级数 与数列 具有相同的敛散性.
常值级数敛散性的判定是包含级数内容的测试，比如课程期末考试，考研、竞赛中一个重要、经典的题型，考研竞赛数学在线课堂在其他真题解析视频也都结合相关试题，针对不同问题进行了思路的详细探讨与分析，更多题型与求解思路的详细讨论可以参见各届竞赛真题解析课堂。公众号回复“在线课堂”，或者直接点击进入在线课程列表，历届竞赛真题与专题在线课程不仅适用于大学生数学竞赛，也适用于全国硕士研究生招生考试与课程学习，不仅适用于基础阶段的学习、复习，也适用于学习、复习、备考的提高、深化与查漏补缺，更能学到探索问题求解思路的方法和提升问题求解思路探索的能力！
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！
相关推荐
● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项
● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座 选项了解！
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！
↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容