第37讲：《幂级数的收敛域与和函数》内容小结、课件与典型例题与练习
一、函数项级数相关的基本概念
设函数 在集合 上有定义，称
为 上的函数序列(或函数列). 称
为定义在集合 上的函数项级数.
如果对于任意一点 ，均存在 ，使得
则称函数序列 在点 处收敛， 称为函数列 的极限函数， 称为函数序列 收敛域.
如果对于任一点 ，均存在 ，使得
则称 为函数项级数的收敛点， 称为该函数项级数的收敛域，并且称函数 为 上的函数项级数的和函数.
若用 表示函数项级数前 项的和，即
则称 为函数项级数前 项部分和函数. 并称
为收敛域上的余项函数，有
如果对于任一点 ，级数
发散，则 为函数项级数的发散点， 称为该函数项级数的发散域.
二、函数项级数收敛域求解思路与步骤
因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就是常值级数收敛性的判定，所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的方法，常用的是基于取项的绝对值的比值审敛法与根值判别法。所以基本步骤为：
步骤1：由比值判别法或根值判别法计算
步骤2：令 ，计算得到 ，该区间内的点不仅是函数项级数的收敛点，而且是函数项级数的绝对收敛点构成的集合；而 的点构成的集合则是函数项级数发散点构成的集合.步骤3：令 ，如果计算得到该方程的根为 ，然后对这些点单独使用常值级数的其它判定方法判定对应的常值级数
收敛性，把其中收敛的点记作 ，发散的点记作 .
步骤4：写出收敛域. 收敛域等于 .
【注】 以上方法与步骤仅仅是通用的简单的方法，并不适用于所有函数项级数收敛域的判定. 由于函数项级数的定义域一般为连续的区间，所以得到的 一般为区间，一般也称为函数项级数的收敛区间，而 一般为区间的端点，所以有
收敛区间+收敛的端点=收敛域
发散区间+发散的端点=发散域.
三、函数项级数的解析性质
1、 点态收敛（按点收敛）
2、 一致收敛与一致收敛的 判别法
3、 函数项级数一致收敛，则其和函数连续、可导、可积并且可以逐项可导和逐项积分
具体内容和实例参见下面给出的课件列表.
四、幂级数相关的基本概念
幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 级数的一般形式为
特别令 ，则有
其中 都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换 ，可以将幂级数的一般形式转换为 的形式．因此只需要讨论幂级数 的形式，该级数也称为麦克劳林级数.
【注】 级数的不同仅仅就是系数的不同. 函数
为构成幂级数的基函数，
为幂级数的系数. 幂级数可以用数量积表示为
五、求一般幂级数收敛域的基本步骤
幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤. 一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：
第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由
令 ，解不等式求得幂级数的收敛区间.
【注】 收敛区间长度的一半即为幂级数的收敛半径.
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性.
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：
收敛区间+收敛的端点=收敛域
六、阿贝尔定理
基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：
定理1：(1) 若标准幂级数 在点 处收敛，则它对于满足不等式 的一切 都绝对收敛；
(2) 若标准幂级数 在点 处发散，则它对于满足不等式 的一切 都发散．
定理2：如果标准幂级数 既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数 ，使得当 时，该幂级数绝对收敛；当 时，该幂级数发散．称正数 称为幂级数的收敛半径，而以原点为中心的对称区间 称为幂级数的收敛区间．通过判定收敛区间端点 处的敛散性，容易计算得到幂级数的收敛域与发散域.
规定：当幂级数 只在 处收敛时，规定其收敛半径 ；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径 ．
七、求标准幂级数收敛域的一般步骤
标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后
形式的级数，对于这样的级数有如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：
(1) 收敛半径：
(2) 收敛区间即为 .
(3) 判断端点 的收敛性，
收敛区间+收敛的端点=收敛域
发散区间+发散的端点=发散域
【注】 该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.
八、幂级数的运算性质
1、幂级数的加减运算性质
其中 为参与运算的两个级数的收敛半径.
2、幂级数的解析性质
性质1（幂级数的和函数的连续性） 幂级数的和函数在其收敛域上连续、可积，在收敛区间内可导．
性质2 逐项积分
性质3 逐项求导
【注1】 反复应用上述结论可得：幂级数的和函数 在其收敛区间 内具有任意阶导数．
【注2】 幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等．区间端点的敛散性需要单独另行判定.
九、三个最基本幂级数的和函数及其收敛域
十、求幂级数和函数的基本步骤
第一步：求收敛域.
【注1】 这一步也可以放在第二步后.
第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即
第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
【注2】 这个步骤可多次进行，一般分母有 可以考虑直接对项求导，分子有 可以考虑对项求积分，每次只能消去 的一次项，所以考虑消去 时，应该将包含 的乘项分解为一次项的乘积。如果求导、求积分不能消去，可以考虑乘以或者除以 （ 的值根据具体问题具体选取）的方式，通过凑幂来实现.
第四步：对已有的幂级数及和函数等式，两端执行第二步的逆运算，即求导的求积分，求积分的求导；并经过换元的逆代换，得到原幂级数的和函数。
【注3】 最终的和函数记得带上收敛域，对于端点和运算过程中没有意义的点可以考虑和函数在收敛域上的连续性确定，或者单独求和确定。
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！
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