第38讲：《函数的幂级数展开及应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、函数可展为泰勒级数的充分条件

设函数 在区间 内有任意阶导数，如果存在正常数 ，使得对于一切 ，恒有

则函数 在区间 内的点 处可展成泰勒级数

如果 ，则有

该级数也称为麦克劳林级数，其中收敛域I除了端点外，是关于原点的对称区间.

【注】 如果函数能够在指定点展开为泰勒级数，则展开式是唯一的，也即不管通过什么方式得到的泰勒级数的相同 项的系数都为

二、用泰勒公式法将函数展为麦克劳林级数的步骤

(1) 检验函数 在含有原点的某区间 上是否任意次可导，并求出

(2) 判定是否存在正数 ，对于上述区间上的一切 以及一切的非负整数，恒有

(3) 求出

(4) 依据麦克劳林级数公式写出 在 内的麦克劳林级数的展开式．

【注】 如果以上(1)(2)步任意一步不满足，则展开过程终止，表示函数在讨论的区间上不能展开成麦克劳林级数.

三、函数展开成幂级数的可能的思路

常用的基本思想与方法为：借助级数的数乘、加减运算法则、逐项可导、逐项可积的微分性质，将函数改写、变换成已知幂级数展开式及收敛域的函数描述形式，然后借助运算性质写出幂级数. 该方法也称为函数展开成幂级数的间接法. 另外也基于函数在指定点处幂级数的唯一性，通过待定系数的方法求幂级数的系数，从而得到最终的幂级数展开式. 所以对于几个基本函数的幂级数展开式要熟练：

尤其是 的展开式.

(1) 所求函数 变换为容易写出幂级数的函数加减乘形式 对函数执行加减、求导、求积 已有幂级数展开式的函数 对函数及幂级数进行逆运算 所求函数的幂级数

(2) 已有幂级数的展开式的函数 函数求导、求积分及幂级数展开式逐项求导、求积分 所求函数的幂级数展开式。

(3) 直接求各阶导数，借助泰勒级数公式直接写出相应的幂级数表达式，即

四、幂级数的综合应用

1、利用幂级数求函数的高阶导数值

第一步：借助幂级数展开的方法展开指定点处的幂级数，并求幂级数展开式的收敛域；

第二步：依据泰勒级数公式求幂级数的方法和一个函数在指定点处幂级数展开式的唯一性，幂级数相等， 次数相同的项的系数相等，即

2、利用幂级数求数值级数的和

第一步：借转换常值级数为幂级数，将其中的 次方项用 替换，构成幂级数.

第二步：求构造的幂级数的收敛域与和函数.

第三步：对于收敛域中的点构成的常值级数的和就等于和函数在该点的函数值.

3、利用幂级数近似计算函数值

对于函数的幂级数收敛域中的点，相应的函数值的近似值可以用该点的幂级数对应的常值级数的部分和近似，可以达到任何预期的准确程度．

4、利用幂级数近似计算积分值和积分

基于级数在收敛域内的可逐项可积的性质，即求和与积分可以互换次序

其中 包含于级数的收敛域内. 这样，在被积函数不可积的时候，可以利用被积函数的幂级数来计算积分的近似值，也可以直接计算积分，得到级数结果的表达式，当然积分后所得级数如果可以求和，则还可以得到具体的积分值！如果是变限积分，则可以得到和函数！当然，函数的幂级数表达式也是函数的一种描述性质，一样可以基于幂级数表达式来研究函数的可能的性态。

5、微分方程的幂级数解法

第一步：设微分方程的解函数为幂级数；

第二步：解函数的幂级数表达式代入微分方程，化简、合并等式两端的同次项；

第三步：比较等式两端同次项的系数，得到所设幂级数的系数表达式。

第四步：对于得到的幂级数，能够求出和函数的，则和函数即为微分方程解的初等函数表达式；对于无法用初等函数描述的幂级数，则可以用其部分和作为微分方程的近似解．

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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