第40讲:《一般周期函数的傅里叶级数》内容小结、课件与典型例题与练习
一、周期为 的函数的傅里叶级数
设函数 在 上有定义,以 为周期,且在 上满足狄利克雷收敛定理的条件(在一个周期上分段连续,并且在一个周期内只有有限个极值点和有限个第一类间断点),则根据周期为 的周期函数傅里叶级数展开的步骤,周期为 的函数的傅里叶级数展开具有完全一致的步骤,只是系数计算公式和三角级数在描述上略有不同,具体归纳如下:
第一步:计算傅里叶系数
由傅里叶系数计算公式计算傅里叶系数:
第二步:以傅里叶系数为系数,写出三角级数第三步:基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性.由狄利克雷收敛定理写出级数的和函数:
其中 和 分别为函数 在点 处的右极限与左极限.即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身 ;在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值.第四步:函数展开成傅里叶级数
依据定理得到和函数等于被展开函数 的集合 ,最终写出附带集合 的等式
【注1】 当 时,则为周期为 的函数的傅里叶级数.
【注2】 类似周期为 的奇偶延拓、周期延拓,可以将任意有限区间 ,,, 上的函数展开为周期大于等于 的傅里叶级数.
二、傅里叶级数的复数形式
设 是周期为 的周期函数,且
则利用欧拉公式:
则有
注意到
因此得傅里叶级数的复数形式:
三、Parseval等式
设 是以 为周期的连续函数,且其傅里叶系数为 ,则
该等式称为Parseval(帕塞瓦尔)等式.
【注1】 当 即为常用的周期为 的连续函数对应的Parseval等式:
【注2】 在函数满足条件并说明等式名称的前提下Parseval等式可以直接应用于解题.
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文,直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表!
相关推荐
● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项,主要内容包括各章节内容总结、课件,题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等!
● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项
● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项
● 全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”,参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程,具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单 高数线代 下的 在线课堂专题讲座 选项了解!
微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台!支持咱号请点赞分享!
↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容