布尔巴基的数学哲学

布尔巴基学派1938年集会的情景。| Wikipedia

作者狄奥多涅/选自《数学的建筑》/胡作玄译/大连理工大学出版社/2009

原题 La philosophie des mathématiques de Bourbaki, 译自 Jean Dieudonné, Choix d'oeuvres mathématiques, Tom I – II,t. I,27 – 39, Hermann Paris, 1981.

我觉得我在这次讨论会上听到的报告似乎是为了达到双重目的：一方面是描绘1900年左右数学、逻辑和现实的关系的历史状况，另一方面是引出真正的数学哲学。我要讲的不属于这整个计划的第一方面，但是我也对大多数论述第二方面的报告的方式表示强烈的保留。

我觉得，真正的数学的认识论或数学哲学应该以数学家具体的研究方式为其主题。哪有人讨论物理学的认识论而不谈相对论或量子的？哪有人讨论生物学的认识论而对遗传学一言不发？但在我所听到的大多数报告中占统治地位的似乎正好是一种类似的趋势，作者认为他们谈的是今天的数学，而实际上他们真正考虑的是前天的数学。

这种错觉来源于像大多数哲学家那样多多少少不自觉地把两部分数学看成相似，一部分是数理逻辑和集合论，另一部分是数学的其余部分。这种态度在20世纪初是非常合理的，因为当时这两部分有着紧密的联系，那个时代大多数数学家对于数学“基础”问题表现出极大的热情，即便他们的研究与逻辑或集合论都不相干。但现在应该考虑的是，当今的情况已经根本不同：专攻逻辑和集合论的数学家(下面我将简称为“逻辑学家”)和其他数学家(下面我将简称为“数学家”，为的是不老说“既不搞逻辑也不搞集合论的数学家”)，几乎彼此完全互相脱离开。

这里还必须重申，对于当今几乎全部数学家来说，逻辑和集合论已经成为边缘学科，在1925年以后就已经如此，而他们并没有察觉到这点。我们钦佩导致哥德尔、P.柯恩、塔尔斯基(Tarski)、J.罗宾逊、马蒂耶维奇的元数学定理的工作的技巧与深度；但是它们对于数学家感兴趣的绝大多数问题的解决并没有任何(肯定的或否定的)影响。这样说可能有点刺激，但是我不怕；这并不是个人意见，而是事实。

布尔巴基的想法

为了解释这些事实，这里我们可以诉诸布尔巴基，虽说布尔巴基绝对不是凭空捏造出来的，它原来的产生是为了以细致和完备的方式阐明所谓“形式主义”数学家的实践。如我们以后将看到的，这些数学家构成当今几乎全部数学家。

“形式主义”数学家感兴趣的对象是某些“集合”的“元素”以及它们之间的某些“关系”，不难给上面加上引号的词下定义，而这只考虑符号系统的适合原意的解释，它们遵从严格的句法，而与要做的解释无关。在这种句法中，列出一部分规则，它们形成古典逻辑，还有一部分我们认为是“真的”关系称为集合论的公理，这些规则和关系就构成现在简称的策梅罗一弗兰克尔系统(简记作ZF)。

如果仅限于此，我们从中总共也只能得出“裸露的”集合论(布尔演算、基数、序数)，当今数学家中至少有95%(我也算一个)会觉得它没有什么兴趣。为了得到使他们感兴趣的问题，必须在ZF中再加进一些关系，再按句法规则从中进行推论。这种发展构成我们所谓的结构(或范畴)理论，这些基本关系称为这个结构的公理；它永远保持开放状态，因为数学中不存在完成的理论。

如果我们用经典观点来解释这些概念，就必须把一个结构的公理考虑成为“隐含定义”(按照庞加莱的巧妙用语)：以精确方式固定所研究对象的基本性质，而禁止在研究中诉诸任何其他的不管是什么的性质。典型的例子是群的结构，它是由给定一个映射􏰑G×G􏰑→􏰑G，满足三个经典条件来定义的(如果我们加上“射”的定义，就得到群的范畴)。

在当前数学中有二三十个这类的大结构，它们不是任意发明出来的，而是对经典问题深人地研究逐步得出的。它们的重要性一方面由于从适当选定的少数公理能够得出在证明中特别有用的大量结论，另一方面在极为丰富多彩的数学对象中能够识别出这些结构，结果把它们带给自己的工具变成为整个数学工具库的一部分(例如群在所有数学部门中的表现，它的多样性是极为惊人的；有限群、交换群、紧群、代数群、形式群等)。使人不感兴趣的是那些只能应用在单独一个(不计同构)对象上的结构。遗憾的是，大多数哲学家当他们讲到“公理学”时提到的往往是这些结构(皮亚诺公理、实数公理)。

对于形式主义者来说，各种理论的无矛盾性问题(通过构造模型)归结为ZF系统的无矛盾性。而ZF系统总是被承认为很可能是真的(这就像例如说物理学家假设自然规律的永恒性一样)，他们否认庞加莱的过分的断言，他强求给这种无矛盾性一个“证明”(我们知道，自哥德尔之后，这种希尔伯特曾梦寐以求的证明在任何合理的意义之下都是不可能的)。

事实上，布尔巴基学派所阐明的所有这种系统对于当今绝大多数数学家来讲都是完全不言而喻的。随便翻翻近年发表的文章，我们很难找到任何这种声明，说他信奉某某逻辑系统，他的论述是基于这种系统论述的，当然作者更不会限制自己用我上面讲过的严格形式语言来编写。他们满足于使用足够有表达能力的方式能使他们的同行看懂就行，而且还要组织得足够好使同行及他自己留下这样的印象，即证明几乎可以机械地翻译成形式语言。这就包含出现某种错误的可能性，不过实践表明这种可能性是足够小的，因此我们不能说当今的数学家真是“形式主义者”，他们只是回到康托尔之前的数学的“朴素”态度而已。用古典逻辑来表达他们的发现已绰绰有余；而且他们干脆就对逻辑学家所发明的所有别的系统(二阶逻辑、多值逻辑、模态逻辑等等)一无所知。至于“大”基数或序数的思辨，他们中有95％的人表现得无动于衷，因为他们从来碰不上这些东西。更少的人会去进行“悖论”的思辨，只有逻辑学家才去想这些。反反复复用各种不同的方式来定义整数、实数或者欧氏几何，也许使他们的祖父感兴趣；但是对他们来讲，这些问题早就解决，早已经过时了。他们知道，某个地方存在一个形式系统为他们所做的打下一个牢固的基础，他们具有“朴实人的朴实信仰”，相信数学大厦的结构是严密的，而30年来所实现的巨大进展只有使这种信念更加牢固。

因此，在这些数学家中不能谈“数学哲学”，同样在布尔巴基阐明许许多多东西的论著中，也只有两三页来证明一种哲学立场。关于数学与可感觉的现实世界之间的关系，他的立场本质上是反教条主义，即反对封闭在僵硬的教条立场之中。

他讲：“谁愿意去思考数学实存的‘本性’或者他使用的定理的‘真理性’，他可以自由地去思考，只要他的思考能够用通常语言写出来。”

至于无矛盾性问题，他的态度完全是实用主义的，虽说我们有全部理由相信ZF系统是无矛盾的。

布尔巴基说：“如果不是这样，那所看到的矛盾也是由建立在集合论基础上的原理所带来的，因此只需要修正集合论而尽可能不损害我们能够坚持的大部分数学。”

直觉主义者和构造主义者

布尔巴基的“哲学”主张就到此为止，我下面要补充的不应该归诸于布尔巴基，它只表明我个人的立场，虽然我知道许多布尔巴基成员也同样持有这种看法，但我还是应该对此负完全责任。

我已经多次谈到“几乎全部”数学家。实际上，还有那么一小撮数学家并不接受“形式主义”的论点，而属于在20世纪初对于“基础”进行大论战过程中所涌现出来的另外的思潮。

我们知道在那个时代，像“逻辑主义”和“直觉主义”这些学派特别繁荣。我认为逻辑主义并不很重要，因为据我所知，没有任何数学家(在我给数学家所下的定义下)的论文曾经按照这个学派的原则来写，没有任何数学家迷恋过这个系统的逻辑学。那么，他的主要作者罗素，是不是由于他在哲学上的声誉(这方面我不予讨论)而轻信说他也是一位数学家的过分要求？事实上，这位从来没有证明过一条新定理的“数学家”从弗雷格(Frege)及皮亚诺的先驱工作中吸取数理逻辑的思想，只是拙劣地拼凑成他的“类型论”这个庞大的杂货摊，而且连这个也不具有完全整理表述好的优点。我们还可以看出他对数学根本不懂，居然在1914年攻击戴德金关于截割的经典著作来了。他断言在普普通通的“结构推移”中看出一个新公理，而且用下面这些奇怪的词讲道：

“把我们所需要的假设当作‘公理’的方法有许多好处，就像用盗窃的手段比诚实的辛勤劳动所具有的好处一样!”

这似乎出自傻瓜之口，从那以后就老不停地重复，想把数学变成“逻辑的一部分”，这种考虑只是因为把集合论认为是逻辑的一部分。这种断言如此之荒唐，就好像说莎士比亚或歌德的著作是文法的一部分一样!

对于集中在直觉主义周围的趋势，我们应该予以更认真的对待。这是由于这样的事实，如果说这种思想的支持者总是极少数，那他们在当时大多数人当中的影响是不容忽视的。头一位直觉主义者无疑是克洛耐克，后来是庞加莱和他某些更年轻的法国同事，如E.保莱尔、拜尔、勒贝格。这种趋势近50年来具体体现在布劳威尔(Brouwer)这个人身上，正是他才创立一个真正的学说。最近，直觉主义者又在构造主义的名义下采取不能的变形，其中有美国数学家毕晓普(E.Bishop)(他同布劳威尔一样，由于先前也做过某些经典型的漂亮工作而著名)以及德国和苏联的数学家。

如果说很难精确确定所有直觉主义数学家全都一致同意的原则，至少他们中的大多数有一个特点是共同的，那就是他们在讲述自己信念时的激烈热情以及同样程度的高傲自大，他们用的腔调不像是哲学家以清楚明白的方式来权衡科学学说赞成什么反对什么，而是更使人想到像宗教的先知那样设法使不信者改宗一样。下面我们有机会通过引文证明这点。

因此我无意肆无忌惮地模仿他们的论战调子来表达我的意见，直截了当讲，据我看，直觉主义者或构造主义者的所有批判和所有禁令的基本出发点只不过建立在一种规模巨大的神秘化之上。他们反复说的让人都厌烦的论点是数学应该有“意义”，如果谁要是想确切弄清他们这话到底是什么意思，就会得出结论，它的意思差不多就是克洛耐克最早的纲领，也就是唯一有价值的数学就是：

“……可以用整数集合中通过有限多步(即便是假设的)能完成的某些运算的结果所描述或预言的……”

构成整个大厦基础的是自然数，这些数学家断言，对于自然数他们具有最简单、最基本的“直觉”。的确，“直觉”这个词按照它被使用的方式能够表示某些意思，但是我们所谈的数学家要想把他们的学说建立在一个普遍的基础之上，而这个基础只能是采取大家接受的，也就是说，像小拉鲁斯(Larousse)辞典上的定义：

直觉：对于真理不借助理性的、清楚、直接、立即的认识。

按照我的意见，对于所有整数的集合及其基本性质有这种认识，从心理学上讲，只不过是十分荒唐的大骗局。举例来说，性质n+1≠n，对于形式主义者来讲，是皮亚诺公理的初步推论，可是又有谁能说(在上述定义之下)对它有一种“直觉”？所有人在谈到性质3≠2时会承认这是直觉，但谈到31≠30时，我已经表示很大的怀疑，因为如果有人并排给我显示两张板，一张上面随便画31个点，另一张上面画30个点，我确知要不靠细数扣除的办法不可能区别开它们，也就是说，根本谈不上“立即、不借助理性”的认识。同样，如果有谁来告诉我，他对性质10^10+1≠10^10的真理性具有“直觉”，我会立即回答说，他把别人当傻瓜!

但这并不妨碍有人会使我们相信这点；更有甚者，比这个骗局还厉害，有人还会用更加夸大的骗局来猛攻我们：当形式主义者满足于思考ZF系统的无矛盾性是极为可能成立的，直觉主义学派的数学家却大声叫嚷，从他们对整数序列的奇妙“直觉”出发，绝对肯定不会遇到矛盾。让我们听听庞加莱在同库图拉论战中说的话：

“……库图拉(Coutourat)先生接着说，因此，断言一个定义不真，除非首先证明它是无矛盾的，这就表达一种任意的、不合理的要求。对于无矛盾性的要求再没有比这种说法更有力、更高傲的了……库图拉先生说：‘这些公设假定是相容的，正如被告都假定是无罪的，直到相反的情形得到证明’……无需补充，我不同意这个要求……对不起，这对你们不可能，但对我们却不是不可能(重点是我加的)，因为我们承认归纳原理……”

1922年，斯克兰在反驳形式主义时也用同样的说法：

“……我们唯一关注的应该是，原始的基础应该是清楚、自然、毫无疑问的东西。整数概念及归纳原理就满足这个条件，但是策梅罗型的集合论公理肯定不满足……”1970年，又在毕晓普处听到回声：

“对于构造主义者来说，无矛盾性不是吓唬人的东西。它并没有独立存在的价值，它只不过是正确思想的结果。”

从这些话中，我们可以领会到这个学派的支持者的傲慢以及不能容忍的教条独断主义，还有最坏意义下的“新闻”作风，这想必使庞加莱自己贬低自己。这种态度并没能阻止他们的信徒越来越狂热，有时甚至像宣传太平盛世说那样，正如毕晓普的学生斯托尔岑伯格(Stolzenberg)对于1967年出版的毕晓普的书所作的热情的书评：

“他(毕晓普)提出，一旦构造主义者的纲领的结果和优越性被认识到，现在正在搞的经典数学作为一门独立学科可能就不会再继续存在下去，他这么说可不是开玩笑。”

在毕晓普的书出版后12年间，《数学评论》每个月平均评论1500篇论文(除了关于逻辑和集合论的论文之外)，我们最多看到一两篇文章显示出对于“构造主义者”的清规戒律的关注。

只需要一点点良知就能看出所有这些可靠无误的断言在什么地方靠不住。斯克兰打算对ZF系统的公理及他本人的“直觉主义者”的信念进行比较，就提供一个明显的例证。如果他的确一个一个公理进行考查，我们就会看到，当局限于只有少数元素的有限集合时，它们也像3≠2那样的性质也是“直觉的”(小拉鲁斯辞典的意义下)。形式主义者所做的是，允许存在无穷集合，并把这些“直觉”性质“外推”到所有集合上。而他们的对手把小的整数外推到所有整数，不去考虑他们自以为在玩弄超级性质的“直觉”，难道这有什么不一样吗？

另外，形式主义者还是足够诚实地承认，并不排除这种“跳跃”到无穷而不带来矛盾的危险。正如上面我引用的布尔巴基的论述中所表现出来的，从这种“等着瞧”的态度可以看出我们强调实用和容忍的精神，它同直觉主义者那种专横的决定相去十万八千里，而且经历史发展充分证明是合理的，虽说一些著名的“悖论”看来和当时数学家的实践活动相距甚远，但它表明，我们需要对在证明行动中什么是允许的加以精确化。并且需要辨别出引导到“悖论”应该加以指责的东西，我们知道一开始意见极为纷纭：在“直觉主义者”阵营中，对于庞加莱，这就是“实”无穷与“非直谓”定义，对于拜尔就是无穷乘积的存在性，对于布劳威尔(以及现在对于毕晓普)就是排中律。可是抛弃这些推理的这个或那个，在任何情形下，都导致推倒数学大厦中一面巨大的墙壁。

反之，采用ZF公理系统只不过是承认数学家时时在用的推理(正如儒尔当先生用散文讲话一样)，而这个系统为了消除导致“悖论”的推理所带来的局限性，对于以前得到的所有结果都没有影响。尤其是，尽管过去70年中，数学研究在所有方向上都取得巨大的进展，我们并没有再碰到新的“悖论”。这足以说明为什么当今绝大多数数学家拒绝屈从于那些为了避免假想的灾祸而任意发布的禁令。这同样也说明，为什么他们对我们上面所提到的“基础”问题毫无兴趣。

直觉主义者的“口头禅”

为了让数学家信仰他们的学说，直觉主义者总是设法系统地歪曲他们对手的著作，使得他们模样怪诞或无用，从而贬低他们并使他们显得荒唐可笑。这种“到处都用得上的口头禅”中，头一个无疑是，没完没了重复着的罗素那个著名的俏皮话，即把数学刻画为“谁也不知道讲什么，也不知道讲的是不是真”的科学。似乎庞加莱在1905年第一次把这句话变成一个战争机器，这无疑解释了他的成功，我们在其中又发现我们已经碰到的那种大喊大叫的声调：

“……这样一来，为了证明一个定理，知道它的含义既不必要，也没有用处，我们可以把几何学用斯坦利·耶方斯(S.Jevons)的推理钢琴来代替，或者，如果我们乐意的话，我们可以想象一台机器，从一头投入公理，而从另一头即可以得出定理来，就像传说的芝加哥的机器那样，把活猪送进去，出来就变成火腿和香肠。数学家也正像那机器一样，用不着知道他正在干什么。”

从这位当时最富有天才直觉能力的人的笔下，读到这种无聊的话，而且还是在他那本谈到自己发现富克斯函数所写的极为流畅的作品当中，这真有点令人寒心。这里我讲的“数学直觉”已不再是小拉鲁斯辞典上的“直觉”了，因为它涉及两个完全不同的东西，这点庞加莱比谁都清楚，虽然他假装不知道。几年前，我写了一篇文章，试图解释这种差别，我不能肯定大家是否都能很好地理解我的意思。这里我只局限于概括“形式主义者”对此的观点，请原谅其中我要引用我自己的话。它涉及十多年前，我同保尔·勒维(P.Levy)所交换的意见，讨论的是哥德尔和柯恩的不可判定性定理。虽然他不是直觉主义者，但他重述庞加莱的批判；不过，他相信有某种“数学实在，与物理世界的实在完全无关”，而且“可数集只是其中一部分”，这导致他想到“存在真的但不可证明的定理”，也使他怀疑，形式主义者不像他那样依靠某种在深处隐蔽的“实在”而能够进行研究工作。我试图使他认识自己的错误：

“是不是说，(如勒维先生所想的)我们另外这些形式主义者是按照电子计算机的方式把公式进行机械的排列组合来进行研究呢？我没有这样的印象；正如所有数学家一样，我们对于所运用的数学对象各有自己某种个人的‘直觉’，在我们寻求证明的时候，我们可能感觉到它，正如厄米特曾经很好地描述过那样，我们用一种在我们之外的存在对象进行实验，但是我们中的大多数并不认为，知道这种感觉是不是一种幻觉是有益的，在所有情形下，即便这个问题使我们感兴趣，我们也不认为给别人解释我们的直觉如何把数学的存在显示给我们是有用的，因为对于我们许多同行，这种直觉(假设他们能够交流)也是完全不同的。只有一件事我们认为是不可少的，这就是在编写我们的证明时，要把出发点(公理或定理)以及推理的每一步写得清楚确切，为此，我们需要有毫不含糊的共同语言，而不是要借助于各式各样不同的‘直觉’，正是这种语言为我们提供了公理方法以及数学的‘形式化’。”

直觉主义者另外一个“口头禅”是，在他们学说范围之外，例如使用排中律，所搞出来的数学都是既没有“价值”也没有“意义”的。如毕晓普所说：

“数学成为集合的游戏，这是一种具有极为完美的规则的，现在看来是绝妙的游戏。游戏成为其自身合理存在的理由，而它代表一种高度理想化的数学存在这个事实则完全被忽视。”

显然讨论什么构成一项数学成果的“价值”十分困难；事实上，再没有比这个问题使数学家(形式主义者或其他人)的意见更加分歧的了。至于我，和大多数别的数学家一样，相信一个定理的“价值”是通过它是否解决一个困难问题，以及这个问题是否长期使数学家停滞不前，这种看法同克洛耐克以前时期我们的前辈没什么两样。有一个观点我过去说过，现在仍然坚持的就是1940年以来数学的进展要比从泰利斯到1940年的全部成就还大，对于这个论点表示怀疑的人，我建议他参阅我最近出版的书《纯粹数学概观》，而且这本书还远不足以包括这40年来的所有成就。但是为了答复毕晓普的专断的见解，我局限于1895–1930年这段时期，考查一下这个时期中某些主要发现(其中恐怕无保留地使用排中律!)：勒贝格积分，积分方程和谱理论，类域论，“意大利”代数几何学，代数拓扑学(庞加莱、布劳威尔(他本人!)、列夫席兹、H.浩卜夫)，群的线性表示(弗洛宾尼乌斯、柏恩塞德、舒尔[I.Schur])，紧李群及其表示的结构(E.嘉当、H.外尔)，哈代-李特伍德的“圆法”，丢番图逼近与丢番图方程(A.图埃、西格尔、A.韦伊)。

如果说我选择这段时期是因为它正好处于巨大的“基础危机”最激烈之时，并且强调哲学家及逻辑学家想象这场争吵激发数学中的“危机”完全是上当受骗了，那么我上面极不完全的概括所列举的成就足以表明这种想法的虚幻性，新发现的层出不穷至少和前一时期同样生气勃勃，使人惊叹。对此也不难解释：对于这些发展作出贡献的数学家从来没有进行过能导出“悖论”的推理；要考虑如此远离当前实践的论证，需要的是更多的哲学精神而不是数学精神；这也就解释了为什么我们不难在ZF系统中以一种稍受限制的方式能够把这种实践系统化而使整个局面恢复正常。

当然，我所谈到的1895–1930年这段时期的情况，如上所述，同样可以适用于从1940年左右开始的这段时期，并且这一后段时期新的发现、新的思想更加丰富多采。数学从来没有过这样的突飞猛进，以致我们再听到谁还谈论什么“危机”的话，最善意的想法就是设想他们不是无知，就是不懂或者不想知道，否则他一定是被狂热幻象所蒙蔽，他们认为自己在当今数学中所看到的“危机”除了在他们的头脑里哪里也找不到。

来源：哲学人（ID:philosophs）