第一次理解“无穷小”背后的故事 01

本系列文章预计会有10个章节，这套文献将系统的讲述物理学本身，今天是第二季第1篇。

欢迎大家再次来到物理学的世界！

古希腊被认为是西方传统思想的发源地，尤其是希腊哲学，因为那个时候他们研究的对象并非是人，而是自然。而自然实际是整个宇宙最难的一环，所以这个时候孕育出很多自然哲学家。

我曾经听过 麻省理工学院公开课—— 电路与电子学，教授Anant Agarwal曾经说过，这个世界最难的是自然，而非电子电路技术、或者linux操作系统等等，因为越往上层会越抽象。这一块我们后面学习计算机系统再谈。

古希腊人，很喜欢研究自然，就像古希腊哲学家赫拉里克特说：“宁愿数天上的星星也不愿意当国王”

希腊人很注重数学，他们认为数学是宇宙的本质。无论怎样古希腊人为我们开启了一扇数与形的大门让我们理解世界。

01 哲学家们的观点

毕达哥拉斯认为数是万物的本质。所以毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，数学是解释万物的钥匙。数为宇宙提供了自然物体的形式和形象。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线、面和立体，有了立体才有了火、气、水、土这四种元素，从而构成万物。

我们第一季在谈《通往宇宙的“身份证”》中谈到了 谈物理学，一定不能忘记毕达哥拉斯，因为这个人的成就和思想成就了很多后来的伟人，尤其是他所发现关于直角三角形的命题，即直角三角形斜边的平方等于其他两边平方之和。

你看，人家说宇宙是数学的实际上也是有资本的，毕竟数学不仅被应用，同时还被定义出新知。所以“万物皆数”变成了当时最流行的哲学理念。

可是，这个时候也有一些比较无聊的人，总是喜欢钻牛角尖，就是喜欢搞事情，但好在也搞出了名堂，比如古希腊哲学家巴门尼德认为“万物静止”，没有事物是变化的。巴门尼德认为世界上只有唯一的“存在”，这就是“一切皆一”的巴门尼德原理。

既然世界只有唯一的存在，就不会有运动，世界是一个整体，“存在”是绝对静止的，运动是荒谬的。他的学生芝诺也是古希腊著名的数学家和哲学家，为了捍卫老师巴门尼德绝对静止的观点，提出四个悖论证明运动是不可能的。

这就是今天我们的主角——芝诺，芝诺认为，世上的各种变化并不真实，那只不过是我们的错觉而已。世界是一个不变和静止的整体。

02 芝诺悖论是什么？

芝诺不仅提出一个世纪难题，同时他也出为数学史，“无穷小”思想的创立者。

请先看芝诺的四个悖论：（我们只看其中三个）

悖论一：二分法悖论

“运动是不可能的。因为所有运动的物体在到达目标之前，首先要到达其一半的地点，而在到达其一半地点之前，还要到达其一半的一半。如果依此类推，运动就连起点也不会存在。”这就是著名的二分法悖论。

按照吴军《数学通史》的例子就是，从A点（比如天安门）到B点（王府井）是不可能的。

悖论二：“阿喀琉斯永远追不上乌龟”

阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿。

在赛跑的赛程中，慢者永远不会被快者追上，因为追者必须先到达被追者刚刚离开的地方，从而慢者总是或多或少在其前面。“阿喀琉斯永远追不上乌龟”所要表达的是，所谓万物是存在的，它们就一定拥有空间，即大小，而事物有大小就可以分割成若干等分。

也就是说，假如阿喀琉斯奔跑的速度是乌龟的10倍，如果乌龟先跑出10米，等阿喀琉斯追上了这10米，乌龟又跑了1米，等阿喀琉斯追上了1米，乌龟又跑出0.1米，......，所以阿喀琉斯和乌龟的距离在不断接近，却永远追不上。

悖论三：飞箭不动

芝诺年代箭是世界上最快的，但芝诺认为飞行的箭是静止不动的。

如果一物处于始终如一的状态之中，它要么保持持续的运动，要么保持持续的静止，而运动的东西总是处于此时此刻的状态中，所以运动的箭是不动的。

“飞矢不动”表达了空间和时间是由不可分割的无限小元素构成的思想。

如果认同世上万物是不断变化的主张，那么箭和标靶之间的距离就可以无限分割。芝诺论证，如果你认为空间是由无限个连接点所构成的，所以时间也应是连续的瞬间的无限集合。

一支飞着的箭，如果把箭和标靶之间的距离（时间和空间）无限分割下去，那么等于说，箭在那无限分割的每个时间和空间里是静止不动的。而且，箭要通过的时间和空间也无限多，所以箭头永远到不了标靶上面。说到底，箭是不运动的。

03 芝诺成功的原因

芝诺悖论之所以“成功”，隐藏着这样一个前提，即时间和空间是连续的，是无限可分的！时间和空间可以无限分割，这是人们直觉和感受到的思维范式。

在数学上，我们已经知道，无限次的计算可以是在有限的范围内的，极限概念的提出从分析的角度解决了芝诺的悖论。

而另一个人们想当然的思维范式是连续的时空。自量子革命以来，人们开始认识到，空间不一定能够无限分割下去，量子效应使得空间和时间的连续性丧失了，芝诺的时空连续并无限的思维前提是不成立的！

量子论告诉我们，“无限分割”的概念是一种数学上的理想，不可能在现实中实现，一切都是不连续的，而是量子化，一份一份的。

总结：

任何时候都有必要站在事物的历史背景下去理解事物本身，我们这个世界之所以有现在的成就，都来自于历史故事的碎片集合。

奥地利著名作家茨威格在《人类群星闪耀时》在开篇就谈到：“没有一个艺术家平日一天二十四小时始终是艺术家的，艺术家创造的重要的一切，恒久的一切，总是只在罕有的充满灵感的时刻完成的。”

物理学家和哲学家也一样、甚至包括设计师！

完

Masir 20210519 于东莞

祝幸福

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