“吸引子”与“混沌” 08

本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述物理学本身，这里是第六季第8篇

--本文较长，预计阅读6min--

1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：

一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能在美国的得克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走。

从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。

经典动力学的传统观点认为，系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。

可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为，在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。

随后几年，洛伦兹又以同一主题发表了三篇论文，现在它们已经成为研究耗散系统混沌现象的经典文献。

在很早的微分方程的定性理论里面，庞加莱已经提出了对非线性复杂系统的混沌现象，他已经隐隐约约地感到在自然界当中，在所谓的无序当中，表面上是无序的，实际上有新的规律。

他没有深入研究，感到用微分方程会有困难，所以提出用微分方程整体的、定性的数学拓扑的方法进行研究，但这仅仅是一个想法。与庞加莱相比，洛伦兹对初始条件敏感依赖性的研究要精确很多，并发现了第一个奇怪吸引子。

洛伦兹对吸引子的发现是源自对一组微分方程的数值分析。

这组微分方程是他从测试天气预报的数学模型中提炼出来的，现在称为洛伦兹方程。

洛伦兹发现这组方程的解有奇怪吸引子，发现在微小的干扰下，在一定的空间内轨道变化极其强烈，在原来“并肩”围绕一个中心“盘旋”的轨道中会有一些轨道突然改变“航向”离开其他轨道，加入另外一组轨道之中，围绕另一个中心旋转，甚至在两个中心之间跳来跳去，好像蝴蝶的翅膀。而且，这类轨道并非个别，可以密密麻麻到处都有。

这种轨道的行为破坏了原有轨道的秩序，表现出某种不可预测性。这在数学上叫初始条件敏感，在数学的直觉上叫拓扑的不可预测，就是在已经建立的轨道上，在微小的干扰下，运动轨道会发生巨大的偏差。

庞加莱在研究三体相互重力作用下的轨道运动中第一个发现了混沌。相空间概念也是庞加莱第一个提出来的，这是一个虚构的数学空间，表示给定动力学系统所有可能的运动。相空间是混沌研究的“吸引子”存在的背景。吸引子是跨越秩序与混沌世界的一个强有力的概念。

吸引子是相空间的一个区域，它对系统施加了一种“磁铁般的”吸引力，似乎要把系统都拉向它。吸引子告诉我们，混沌不只是稀里糊涂地四处游荡，它是一种精致形式的秩序。

当科学家说一个系统有“吸引子”时，他们的意思是如果在数学空间中绘出系统的变化或行为，则图形将显示系统在重复着某种模式，科学家们就说，系统被“吸引”到那种行为模式。

一个演化系统各要素之间的相关性可以在很大数值范围内保持相对不变，但在某些临界点会分裂，刻画系统的方程跳入了一种新的性态。吸引子是涌现的创新。

大约十年后的1972年，美国马里兰大学一位气象学教授把洛伦兹关于气象预测模型的四篇论文给了同一大学数学系的詹姆斯·约克教授。

约克将其中最重要的一篇论文《确定性的非周期流》复印一份寄给了美国加州大学伯克利校区的拓扑学家斯梅尔。斯梅尔惊奇地发现自己一度认为在数学上不可能的一类混沌现象。而约克与他的学生完成了混沌历史上著名的“李-约克定理”。

“混沌”（Chaos）一词是由美国马里兰大学数学家李天岩和詹姆斯·约克于1975年首先采用的，他们选用“混沌”一词来形容“乱七八糟”出现的周期点。

1974年，美国马里兰大学数学系请来了“生物数学”领域最杰出的学者之一罗伯特·梅来演讲，梅讲述了种群生物学中那个带参数的简单二次模型“逻辑斯蒂模型”的迭代：当参数从小到大变化时，其迭代点序列之性态将变得越来越复杂。他十分困惑于这一现象的合理解释，认为可能是误差造成的。

马里兰大学的数学教授詹姆斯·约克听了这个演讲，他把与其博士生李天岩的文章《周期三导致混沌》给梅看。梅看到这篇文章后极为吃惊，认为这篇文章解开了他心中的疑惑。

这篇文章证明了后来众所周知的“李-约克定理”，第一次从数学上严格地引入了“混沌”的定义。

早在1972年，约克从洛伦兹试图求解的三个微分方程的解对长远时间的“不可预测性”，提炼成一个关于函数迭代的最终性态问题。他猜测，一个连续函数只要有一个周期为三的点，这个函数的迭代就有某种规律性。

什么是周期为三的点？一个过程如果连续使用三次，又回到初始状态，这就是周期三现象。

首先，周期、准周期、随机、混沌都是回归行为，即演化过程回归到曾经有过的状态附近。

一般说来，人类只能关心回归行为，从以往的经历预测未来。比如，在微博的碎片化传播过程中，许多产生“蝴蝶效应”的事件都有意见领袖参与，而往往是前三位意见领袖的转发非常重要。

意见领袖的粉丝数量巨大，他们参与传播更易引发宏观的涌现传播，产生巨大影响。

李-约克定理：如果一个连续函数有一个周期为三的点，那么对任意一个正整数n，这个函数有一个周期为n的点，即从该点起迭代函数n次后，又第一次返回到这个点。更进一步地说，对于“不可数”个初始点，函数从这些点出发的迭代点序列既不是周期的，又不趋向于一个周期轨道，它们的最终走向将是杂乱无章的，没有规律可循。

李天岩和约克的伟大发现是，只要有“周期三”出现，就有数不清的初始点的“混沌轨道”出现，这些轨道的未来走向是“不可预测的”，即“混沌的”。科学家们从此发现“周期倍分岔通向混沌”包含了整套以前无法想象的秩序。

“逻辑斯蒂模型”的分岔图及周期二、周期三窗口：（a）分岔图；（b）周期二窗口；（c）周期三窗口。

上图为混沌历史上著名的根据“逻辑斯蒂模型”做出的费根鲍姆分岔图。

嵌在混沌区中的周期解通常称为周期窗口。从图中可以看到，随着参数的变化，系统的稳定状态发生变化，当参数大于一定数值时，系统开始出现分岔现象，增加到某一阈值后，出现混沌现象。

图中给出的三个参数分别对应三个超稳定周期。

在混沌区中，又包含无数个周期轨道和暗线。

该模型的演化是一个混沌过程，包含周期轨道、准周期轨道、随机轨道、混沌轨道和测度为零的激变点。

它具有内在随机性，受随机因素扰动影响，其中又含有一定的确定成分。

Masir 2022/07/07

祝 愉快~

参考文献 

[1]《时空简史》

[2] 《决定论or随机论》

往期推荐