明显不一样长短的两条线段，有时在数学里为什么大家说是一样长的？

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第14篇。

今天我们继续聊聊康托尔的无穷思想。

我们知道，古哲学家芝诺关心过三个问题，即，无穷小、无穷和连续的问题……

其实，从古到今，数学的发展都是靠这些问题一代又一代智者给出自己的答案。

从而推动了整个数学大厦的建立！

01 不可数集

这个成就可能是这个时代能够夸耀的最伟大的成就……无穷小的问题是魏尔斯特拉斯解决的，其他两个问题的解决是由戴德金开始，最后由康托尔完成的。

其实刚开始康托尔的很多发现是不被世人所接受的，笔者认为可能现在也有很多人都不接受，比如下面这个关于线段长度的问题。

在不可数集论中得到的，最经典的例子就是一段不等线段上所有点的集合，在这里只能谈谈他的最简单的结论之一。

与直观所能预测的相反，两个不等长的线段包含着同样数目的点。

记住两个集合包含着同样数目的事物，当且仅当它们中的事物能够一对一地配对时。我们不难看出康托尔这个结论的合理性。

如上图，我们很明显看出，其放置不等长的线段AB, CD。线段OPQ交CD于点P，交AB于Q。

这样，我们就发现CD上的P点和AB上的Q点就配成对了。

当OPQ绕O旋转时，点P在CD上移动，同时Q在AB上移动，CD上的每一个点有且仅有AB上的一个点与之“配对”。

可以证明一个更出乎意料的结果 —— 任何线段，不管多么小，都包含着与无限长的直线同样多的点。

也就是说，线段包含的点，与在整个平面或整个三维空间或整个n维空间（这里n是大于零的任意整数），或者最后，在可数无穷维空间中的点同样多。

另外，就算你再不相信这个理论，你也应该相信康托尔集吧！

我想任何一个上过高中的人都知道，人教版高一数学第一章节讲的就是集合{1,2,3...}。

而集合就是康托尔衍生的，所以你对显而易见的可数集合表示熟悉，而对没有学过的无穷集合表示陌生，甚至怀疑！

后来我思考了下，之所以高中我们不涉及到的原因是：

数学基础：理解不可数集和相关概念通常需要更高级的数学知识，包括更深入的集合论、实数理论和逻辑。

抽象性：不可数集涉及高度的抽象概念，这对于许多高中生来说可能是一个挑战。（微积分也是）

教学重点：高中数学课程通常着重于为学生提供广泛的数学基础，包括代数、几何、三角学等，这些是为了建立必要的数学基础和解决实际问题的能力。不可数集的概念通常被认为是大学或更高级别课程的内容。

所以没学过不代表它错误，或者不存在。只能说我们学的太浅啦。

好，这里我们再介绍下康托尔集。

很明显，康托尔集是具有自相似结构的分形，而且几乎属于最简单的分形了。

0 阶：1条线段，设它的长度为 1 ；
1 阶：2条线段，它们的总长度显然是2/3；
2 阶：4条线段，它们的总长度是4/9；
3 阶：8条线段，它们的总长度是8/27；
...... ......

由此可以计算得到，n 阶康托尔集由 2的N次方构成，每条长度是 1/3N次方，所以n阶康托尔集的总长度是 （2/3）的n次方。

由于真正的康托尔集是无穷阶的，所以很容易得到，康托尔集的总长度为

这里大家只做简单了解，未来有机会我们再谈谈分形。

02 康托尔的生平

1870年左右的康托尔

格奥尔格·康托尔的一生就像是一部充满了才华、挑战与对传统的挑衅的传奇故事。

他不仅是数学领域的一位革命者，也是一个具有深厚艺术和哲学背景的人。

康托尔出生于一个犹太家庭，父亲是一位成功的商人，而母亲则是一位艺术家，这样的家庭背景赋予了他非凡的艺术气质和深刻的哲学思考能力。

康托尔的家族背景多元而复杂，他的父亲在丹麦出生，后移居俄国，而康托尔自己则在俄国的圣彼得堡出生。

他的多重国籍身份让他成为了多个国家文化交融的产物。虽然康托尔热爱德国，但德国对他的态度并不热情。

他的弟弟和妹妹也都是才华横溢的艺术家，这进一步证明了家族中艺术天赋的丰富。

从小接受基督教教育的康托尔，在宗教领域也有着深刻的兴趣和见解。

他对中世纪神学的深入研究，甚至影响了他的数学思考。他对数学和哲学的热爱，使他的研究不仅局限于数学本身，而是涵盖了更广泛的领域。

康托尔在数学上的才华从小就开始显现，尽管他的父亲希望他成为一名工程师，但康托尔最终还是选择了追随自己对数学的热爱。

他在数学领域的天赋在他早年的学术生涯中已经显露无遗，但真正的革命性成就是在他29岁发表关于集合论的论文时开始的。

康托尔的生活并非一帆风顺。他曾因与学术界其他权威人物的观点不同而备受争议，这对他的职业生涯和个人生活都产生了重大影响。

然而，正是这些挑战和争议，推动了他在数学领域的创新和进步。

康托尔的研究不仅改变了数学的历史，也对哲学和逻辑学产生了深远的影响。他的工作挑战了数学界的传统观念，引发了关于数学基础的深刻思考和讨论。

格奥尔格·康托尔的一生不仅是数学成就的典范，也是一个关于个人挑战和心理斗争的故事。他的无穷类理论在当时被视为非常激进和非构造性的，这引起了同行如克罗内克的强烈反对。

克罗内克认为康托尔的理论是数学的一种危险偏离，他的批评对康托尔个人产生了深远的影响，甚至被认为是导致康托尔精神崩溃的部分原因。

康托尔在40岁时经历了他的第一次精神崩溃，之后的岁月中，这种崩溃不断反复。这些精神上的挑战极大地影响了他的个人生活和学术生涯。

尽管如此，康托尔在两次发作的间歇期内仍完成了一些关于无穷理论的杰出工作。在病发的空隙期间，他的思维变得异常清晰，这进一步证明了他的聪明才智和对数学的深刻理解。

克罗内克对康托尔的攻击，虽然严厉，但只是导致康托尔精神问题的多种因素之一。

康托尔对于没有得到学术界的广泛认可感到沮丧和失望，这也对他的心理状态产生了巨大的影响。康托尔一直渴望在柏林大学获得一个职位，但这一愿望并未实现，这一事实对他的心理造成了严重打击。

在学术界，通常认为同行间的争议应该在学术文章中客观地解决，而不是通过教学或公开场合的攻击。然而，克罗内克在柏林大学对康托尔的工作进行了尖锐的批评，这进一步加剧了两人之间的分歧。

尽管面临这些挑战，康托尔并非没有得到支持。例如，米塔-列夫勒不仅在他的《数学学报》上发表了康托尔的著作，而且在康托尔与克罗内克争吵期间给予了他慰藉。埃尔米特的支持也给康托尔带来了极大的安慰。埃尔米特对康托尔的新理论表示了热烈的欢迎和支持，这温暖了康托尔的心。

随着时间的推移，康托尔的工作开始得到了更广泛的认可，被视为对整个数学领域，特别是分析学基础的重大贡献。

然而，康托尔的理论也伴随着某些悖论和自相矛盾的问题。

这些问题可能最终成为康托尔理论对数学最重要的贡献之一，因为它们在围绕无穷的逻辑和数学推理基础中的存在，促进了现在对整个演绎推理的批判性思考。

这种批判性思考有望带来比康托尔时代更丰富、更真实、更一致的数学理论。

康托尔的故事，既是一个关于数学天才的故事，也是一个关于个人挑战、心理斗争和学术界内部冲突的故事。

他的一生和工作，对数学的发展和我们对无穷理论的理解产生了深远的影响。

康托尔的一生，既是对数学的深刻探索，也是对人类智慧的不懈追求。

他的故事不仅是数学史上的一个章节，更是人类文化和思想史上的一个重要标志。

好，今天就先这样啦～

PS：本季度人物介绍大致就先这样啦，我们后期文章会开始专注数学知识讲解！

科学羊🐏  2024/01/17

祝幸福~

参考文献：

[1].《数学大师》

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