如何提升中彩票的概率？概率论之两点分布的数学原理！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第3季第4篇。

接上篇！

01 再谈伯努利试验的概念

伯努利试验（Bernoulli trial）是概率论与统计学中的一个基本概念，以瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的名字命名。伯努利试验具有以下几个特点：

1、二元性：每次试验只有两种可能的结果，通常被称为“成功”和“失败”。在不同的应用场景中，“成功”和“失败”可以代表不同的事件，例如抛硬币时的正面或反面，生产过程中的合格品或不合格品等。

2、独立性：进行多次伯努利试验时，每一次试验的结果不会影响其他试验的结果。也就是说，每次试验都是独立的。

3、相同的成功概率：在重复进行的每次试验中，“成功”的概率是相同的。这意味着无论你进行多少次试验，“成功”的概率始终不变。

伯努利试验的一个典型例子是反复抛硬币。

每次抛硬币都只有两种可能的结果（正面或反面），每次抛硬币的结果不会影响下一次的结果（独立性），并且每次正面朝上的概率都是相同的（假设硬币是公平的，则概率为0.5）。

在统计学中，伯努利试验是许多其他概率分布的基础，如二项分布、贝努利分布等。

二项分布可以看作是n次独立的伯努利试验的总成功次数的分布，其中每次试验的成功概率相同。

例如，抛10次硬币，恰好得到3次正面的概率可以通过二项分布计算得出。

伯努利试验的概念在概率论、统计学、机器学习等领域都有广泛的应用，是理解这些领域中许多更复杂概念的基础。

02 伯努利试验的数学原理

我们知道在一般伯努利试验中，假如事件A发生的概念是p，那么事件B发生的概率就是1-p。

如果进行N次独立试验，事件A会发生多少次呢？

凭感觉可能会是N次乘以每次发生的概念，即 N*p。

比如我们玩一副有52张牌的扑克，先把扑克洗几遍，然后从中抽一张牌，假如抽到黑桃♠️为事件A。

那么每次抽到黑桃的概率就是 13/52 = 1/4 = 0.25。

我们继续，将抽到的牌取出来之后再放回去，继续洗牌，继续抽，这样连续500次，这时候我们感觉N*p=125次抽到黑桃。

但是其实能抽到黑桃事件A多少次都是有可能的，只不过125次的可能性最大，而其他 123 124 126 127 次之，然后逐渐递减，如下图。

单次概率为1/4的伯努利试验进行500次后的概率分布

其实在这个曲线中我们可以根据图表找到每个测试对应概率的分布详情。

如果每一次伯努利试验时发生事件A的概率为p，那么进行N次试验后，恰好发生k次，这个概率可以用下面这个公式进行计算。

其中，（N，k）是从N个物体中挑选k个组合数，计算方式为：

所以k 取值的不同会导致不同的概率！

k = N*p 时概率最大，N = 20，p=0.3，k=6 时概率到达最大值0.19左右，k=5时为0.18，k=10时，概率为0.03。

伯努利试验因为只有两个结果所以也称为两点分布！

我们可以从图中看出当试验500次后，事件A发生次数少于100，或者大于150次的可能性很小，概率的分布完全呈现出一个倒钟结构。

我们继续把次数N不断增加，从500到5000到500000，甚至更多，那么二项式分布的曲线画出来会越来越窄，逐渐变成一条直线。

单次概率为1/4的伯努利试验进行20次后的概率分布图

这个直线的位置，和公式计算N*p是完全一致的，没错这就是理论。如果N比较小，曲线就变成上图这样。

总结：

仙王摇奖

概率论给我们的智慧就是如此，我们的感觉总会有偏差，但是数据不会撒谎，我们要经常借鉴数据来指导行动。

比如买彩票，

你中奖的概率是一百万分之一，你如果要想确保成功一次，恐怕要买260万次彩票。

即使中一回大奖，可能花的钱要远比获得的多得多...

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/02/22

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

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