你相信吗？由数千条椭圆曲线构成的图案与椋鸟聚集有着惊人的相似之处！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第3季第14篇。

如果以正确的方式观察，椭圆曲线可以像鸟一样聚集。，Quanta Magazine

如果说宇宙是数学的，那么大自然必须是数学的分支，有时候人类会自己想办法从理论中找到真实的现象，比如广义相对论。而有时候人类会从大自然角度找到事物的本质，比如博大精深的道德经或太极。

有时候当我们困惑于某个事情想不明白的时候，不妨去大千世界走走，仔细留意身边的细节，说不定会给你答案！

你还别说，我以前在梦里都找到过解决方案...

好，今天我们继续谈谈关于椭圆曲线的数学话题，也为大家拓展下这里面的新认知。

椭圆曲线，这一现代数学的瑰宝，宛若一座横跨简单高中数学和深邃数学研究的桥梁。

尽管外表不甚复杂，它们却在20世纪90年代安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明以及现代加密技术中扮演着不可或缺的角色。

补充下：

2000年，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）公布了当今的七道数学难题，作为对100年前希尔伯特的回应。

克雷数学研究所还对这些问题设立了奖金，每一个为100万美元。

由于这些问题证明的过程不可能简单，因此一旦有人宣布证明了某道题，就要由一个专家小组花两年时间审核，通过审核才能获得奖金。

这里面有一个难题 —— 赫和斯维讷通-戴尔猜想

还未解决！

这其实就是一个关于椭圆曲线问题，椭圆曲线是数论研究的重要领域，安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明用到的主要工具就是椭圆曲线。

怀尔斯

事实上，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陈述就是由怀尔斯写的。

今天的比特币加密，也是利用椭圆曲线验证解和求解在时间上的不对称性实现的。

因此，这个问题有非常明确的应用场景。

好，我们继续来看，2022年，一个跨大西洋的团队借助统计技术与人工智能，揭示了椭圆曲线中出人意料的新模式，为数学界带来了一股新鲜的空气。

这一发现，虽然意外，但被普林斯顿大学的数学家彼得·萨纳克描述为“时来运转”，开启了对这些神秘模式背后逻辑的探索旅程。

这些模式，因其流动性和集体性，被形象地称为“低语”，暗示着它们或许是椭圆曲线更普遍的特性之一。

椭圆曲线之所以引人入胜，在于它们简洁的定义：将一个变量的平方与另一个变量的三次方通过特定方程联系起来，绘制出的图形美轮美奂。

这里的a和b是方程的参数，它们决定了椭圆曲线的具体形状，如下动图，通改变a，b的值，曲线也会跟着变化

昨天我们已经聊过了，椭圆曲线其实就是将一个变量的平方(通常写y)与另一个变量的三次方(x)联系起来: 对于一对数 a 和 b，只要 a 和 b 满足一些简单的条件，y^2 = x^3 + ax + b。

这个方程定义了一条可以在平面上绘制的曲线，如下图所示。(尽管名称相似，但椭圆不是椭圆曲线。)

然而，数论家对椭圆曲线的研究兴趣，远不止于其外表。

如果你在一条椭圆曲线上的两个有理点之间画一条直线，那么这条直线与曲线相交的地方也是有理的。您可以使用这个事实来定义椭圆曲线中的“加法”，如下所示

在 P 和 Q 之间画一条线。

这条直线将在第三个点 R 处与曲线相交。(数学家们有一个特殊的技巧来处理直线不与曲线相交的情况，那就是添加一个“无穷远点”。)

R 在 x 轴上的反射就是 P + Q 之和。再加上这个加法运算，曲线的所有解就形成了一个数学对象，叫做群。

另外，椭圆曲线也与素数有很大关系，素数只能被1和它自己整除。

特别是，数学家们研究有限域上的曲线ーー为每个素数定义的循环算术系统。

有限域就像一个小时数等于质数的时钟: 如果你继续向上数，数字就会重新开始。例如，在7的有限域中，5加2等于0,5加3等于1。

通过限制变量在不同数字系统内的变化，椭圆曲线在有理数系统中的应用尤其引人注目。

这种特性，使得椭圆曲线成为探索数学未知领域的有力工具。

图片来自，Alex Ramsay/Alamy Stock Photo ，Quanta Magazine

有时候，椭圆曲线可以像鸟儿一样成群结队，如上图，貌似大自然就懂得宇宙的奥秘！

不过近期研究人员发现了一个新的东西。

如下图，研究人员使用人工智能（AI）和统计技术分析了大量椭圆曲线的数据集，通过这种方法，他们发现了一种之前未被注意到的椭圆曲线分布模式，称为“群鸟效应”。

图片来自 ，Quanta Magazine

这些模式揭示了椭圆曲线在不同数系中分布的深层次结构，表明即使在数学这样一个古老的领域中，依然有可能发现全新的现象和规律。

这一发现是通过结合现代技术和传统数学研究方法得出的。

椭圆曲线与素数的密切关联，尤其是在有限域上的表现，揭示了数学世界中的一种神奇规律：在特定的素数系统中，数字仿佛在重置自己，展现出一种独特的循环性。

正是这些特性，引领伯奇和斯温顿-戴尔提出他们著名的猜想，开启了对椭圆曲线深层次性质的追问。

椭圆曲线，这一数学之美的象征，正展现出其无穷的魅力和潜力，继续在数学的海洋中引领着探索的航向。

好，今天就先这样啦，祝大家周末愉快😀～

科学羊🐏  2024/03/09

祝幸福~

PS：

另外，告诉大家一个好消息，因大多读者的需要，科学羊将启动一个科普读物（物理学+数学专栏合集）的读物手册整理，主要是将科学羊往期文章进行整合做成一本书，这样既可以给孩子做经典科普，也可以拓展自己的知识边界。有需要的可以私我入科学羊科普读物见证群，加入一起讨论～

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