八上第三讲 全等辅助线（2）倍长中线

写在前面

全等证明是苏科版几何的一次真正入门，许多需要作辅助线的难题逐渐出现，因此，计划用三讲来完成三个大类，本讲作为第二大类，来介绍倍长中线法．

要倍长中线，多数是因为题目中本身已含有中点的条件，选择将中线延长一倍，这样构造两对边相等，同时可以构造对顶角，先证明全等，利用对应边或者对应角相等，为后续证明做铺垫．

特别提醒：本讲中，有部分例题要用到等边对等角或等角对等边的知识，这在目前来说尚未教到，但相信大部分同学可以接受．

一．求边的数量关系

分析：

本题中，要求三角形一边的范围，不难想到在三角形三边关系中是有所涉及的。但这里的AC与AB，AD不在同一三角形中，无法直接来求，必须进行适当转换．由于题目中明确给出中线，则倍长中线，构造全等，将AC转化至某一条线段，与AB、AD组成三角形．

分析：

本题中，要直接发现BE，EF，CF 间的大小关系，是很困难的，三条线段不在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到倍长中线AD．但是，这样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系，因此看到中点D，我们也要想到倍长“隐藏的”中线FD．再联系到DE，DF为角平分线，“邻补角的角平分线互相垂直”，∠EDF为90°，想到转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形的目的．

小结：

以上两题，均是探究边之间的数量关系，借助倍长中线，构造旋转180°的SAS型全等，将不是同一三角形的边转化，使之能构成三角形，从而求解．

这对学生的思维能力要求还是比较高的．不光看到中线，有时，看到中点也要想到这种辅助线作法．

二．证明边等

分析：

本题是经典老题，解法多样．显然图中△BDF和△ECF不全等，不能直接得到BD＝CE．那就需要对其中一条边进行转化．考虑到F为DE中点，加之有对顶角的存在，已经有一对边，一对角等，要构造全等很容易，可以再添一对角等，或者一对边等，这里提供2种方法．

分析：

要证边等，第一步分析能否直接通过证明全等得到，显然不能．想到AD为△ABC中线，则应该倍长中线，尝试将AC转化到与BF在同一三角形中．

分析：

本题其实是在上一题的基础上，去掉了边BF，即擦除了“中线”，只留了中点E，再多加了一条AD，所以方法应该不变．

小结：

例2和例3及变式，都是证明边等。但都不能直接通过全等得到，需要用倍长中线进行转化。而在证明过程中，其实都借助了双等腰三角形的八字形，有一组对顶角作为中间桥梁。通过四个角等，最后得边等。

由此可见，今后遇到类似题目即出现中点，且要证明不在同一三角形中的边等，又不能通过证明全等时，我们既要倍长中线，也要顺便构造含双等腰三角形的八字形，解题时可以事半功倍！

END

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