八上第四讲 全等辅助线（3）见角平分线作垂直

从2017年5月1日开设这个平台以来，近五个月的时间，本文成为了自己的第50篇原创。

虽然写这些内容占用了自己一定的业余休息时间，但能收获到2000多位朋友的关注，内心还是非常开心的。尤其是各位热心的同行，家长在后台给我提出的建议，指出的瑕疵，更让我觉得严谨认真才能做得更好，在此向你们表示衷心的感谢！

我想，接下来要做的，用这句话来表达就再合适不过了，不忘初心，继续前进！

写在前面

按照课程进度，全等证明已经讲完，这一讲作为全等证明三种辅助线作法的最后一讲，来介绍“见角平分线作垂直” ．

见角平分线作垂直是一种常见的辅助线作法．其主要作用于涉及图形面积的题目．对于一些较复杂的证明线段相等，数量关系的题目，也能借此法多次构造全等来辅助解决．

从本讲起，为节约篇幅，一些全等的证明为以“易证...”的形式出现，但仅作为解题思路的体现，同学们考试书写时不得使用！

一、角平分线与面积相关

对于一些题目中含角平分线，且向三角形的边作垂线段的题目，基本都会与三角形面积相关，这时候，再多作几次垂直，许多问题就迎刃而解．

分析：

AD作为角平分线，将△ABC分割成了2个三角形．而过点D作了DE⊥AB，自然想到DE看作AB边上的高，才能表示△ADB的面积．那么，要求△ACD的面积，必然想到过点D再作AC的垂线．

分析：

与上题类似，三条交于一点的角平分线将△ABC分成了三个小三角形，继续从面积入手会比较简单．这里应该作两次垂直．

小结：

对于给出线段具体长度的题目，我们经常要考虑是否跟周长面积有关．而一旦有角平分线，又作了垂直，那多半与面积相关，因此，再作垂直就水到渠成了，下一次再遇到类似的题目，你会了吗？

二、角平分线与多次全等

有时候，一些证明线段相等，角等之类的题目，证一次全等显然是不够的．而对于其中含角平分线的问题，我们作垂直，目的是为了创造边等，角等的结论，为下一次证明全等做铺垫．

分析：

显然，直接证明△ABD和△ACD全等是不行的，因为会出现边边角的情况．尝试采用倍长中线呢，接下来却没有全等可证，也无从入手．因此，只剩下最后一条路，作垂直．

分析：

这道题也是全等证明中的一道经典难题．对于AB＋AD＝2AE，如何运用是关键．我们把AB看作两条线段之和，即AE＋EB＋AD＝2AE，则证明EB＋AD＝AE，此时，先想到延长AD，而CE⊥AB，那自然想到再次过点C作AD的垂线段．

反思：

如果将本题的条件AB＋AD＝2AE与结论∠ADC＋∠B＝180°，你还会证明吗？

如果你有兴趣的话，不妨将证明过程发送在公众号页面哦！

分析：

本题的模型在初一下学期中已经见过，∠BPC与∠BAC的数量关系相信同学们也不陌生，但本题与这个结论无关．要证AP平分∠PAC，显然没有现成的全等可证，那么想到BP，CP是角平分线，我们可以过点P分别向两个角的两边作垂线段，这样一共需作3条，如果3条长度相等，则问题解决．

小结：

见角平分线作垂直是一种基本的辅助线作法，尤其是当题目中不止一条时，选择这种辅助线作法的几率更大，因为在下一章，我们将学习到“角平分线上一点到角的两边距离相等”，其实就是利用此法构造全等得到的．所以，我们也必须掌握这种方法． 下图，再送给大家八上几何常用辅助线添加的口诀！

回到例2：我们说“边边角”是不能证全等的，但真的完全不能吗？事实上，直角三角形用HL来证全等就是“边边角”的特例．那么还有其他的特例吗？

我们来看看南京2014年的中考压轴题：

在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且均为钝角，求证△ABC≌△DEF．

提示：这里没有角平分线，但你能作垂直试试吗？

详细解答，请在公众号页面回复“边边角”获取．

END

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