【难题突破】巧用斜直关系，解决最值问题

数海一叶舟 2022-07-16

The following article is from 广猛说题 Author 广猛说题

初中数学几何模型在解题中有着重要的作用．所谓模型，一般由某些基本的知识点或者核心的“基本动作”提炼而成．掌握一些基本的几何知识模块是运用几何模型解题的基础．在具体教学中，若能着眼于基本几何模型的提炼与总结，往往可以帮助学生提升学习效率与创造能力，从而有效地为数学课堂减负,提升数学解题能力．

本文拟以一个简单的几何模型，即“斜大于直”原理巧解几道最值问题，最终实现多题归一．

一、问题引出

首先呈现一道课堂上的习题：

引例：如图1，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为直角边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是　　．

反思：这个想法值得肯定，说明学生对于数学建模有了一定的领悟，尤其是利用函数模型解决问题的意识得到了充分的体现．但若能结合下面的几何解法，则能相得益彰，问题的解决也显得更加地彻底．

另法：如图2，作DF⊥BE于点F，易得四边形ABFD为矩形，则DF＝AB＝2，故DE≥DF，即DE≥2，当且仅当DE∥AB时取等号，此时点C为AB的中点，因此DE长的最小值为2．

这里采取了极为巧妙的几何构造法，借助“垂线段最短”或理解为“直角三角形的斜边大于直角边”，即“斜大于直”原理秒杀问题．

值得一提的是，在解决此类问题时，利用“斜大于直”原理的几何构造法，通用性与操作性更强些．请看下面的若干变式：

变式1：如图3，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是　　．

变式2：如图4，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB的同侧作两个等边三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是　　．

变式3：如图5，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为直径在AB的同侧作两个半圆弧，点D、E分别为这两个半圆弧的中点，连接DE，则DE长的最小值是　　．

变式4：如图6，线段AB的长为2，C为AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AC、BC为底边在AB的同侧作两个等腰三角形△ACD和△BCE，连接DE，则DE长的最小值是　　．

反思：题组训练可以强化解题技能，以便熟能生巧.通过上面的四个变式，可以看出，“斜大于直”原理是解决此类问题的通解通法，原理简单，通用易懂.

有趣的是，这样的问题在中考里也屡见不鲜，请看：

二、中考链接

例1.（2018年苏州填空压轴题）如图11，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为 (结果保留根号)．

简析：此题方法多样，这里仅提供两种思路.

反思：上述两种思路是解决问题常见的两大途径，一为代数之路，一为几何之路，两种方法相辅相成.前者在于“算”，运用函数建模思想；后者在于“造”，借助“斜大于直”原理.两相对照，代几结合，趣味无限.

2018年苏州这道中考题正是来源于上述问题的变式，从三角形变成了菱形，甚至于还可以变化为其他图形，但万变不离宗，都可借助“斜大于直”原理得以解决.若将该原理结合“SSA”，即所谓“边边角”结构，则更加神奇、出彩.

三、拓展延伸

例2.如图14，已知等边△ABC的边长为2，D、E分别为边AB、AC上的点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为A′.当点A′落在边BC上，求AD的最小值.

简析：首先，感受问题的合理性：当AD“太小”时，即点D无限接近点A时，很明显，无论点E在边AC的什么位置，都不可能将点A沿着DE折到边BC上，从而AD不能“太小”，即AD存在最小值；

反思：本题较为新颖，对学生而言较为抽象，学生可能很难找到正确的方向，或许会走入“一线三等角”的误区，可谓“成也模型，败也模型”，这是模型教学的弊端.

这里巧妙地识别△A′BD中的“SSA”结构，结合“斜大于直”原理，通过设元，巧列不等式解决问题，可谓精彩至极.

从“等边”变为“等腰直角”，从最值变成路径，换个马甲，重新包装，请看下面的例题：

例3.如图16，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为边BC上一动点，连接AD，作AD的垂直平分线，分别交边AB、AC于点E、F.当点D从点C运动点B时，点E经过的路径长为，点F经过的路径长为 .

简析：首先，感受问题的合理性：点E、F都随着点D的运动而运动、确定而确定，当点D位于起点C时，点E、F分别位于AB、AC的中点处；当点D位于终点B时，点E仍然位于AB的中点处，点F则运动至点C处，故点E的路径有来回，点F的路径可能为“直来直去”.想求点E经过的路径长，可先求AE的最小值；想说明点F的真实路径，可借助函数建模或利用几何方法定性说明，具体如下：

反思：最值与路径宛若一对双生子，它们之间往往可以相互转化.本例中，首先借助临界点法，找到点E的起点与终点，发现它们是同一个点，由此可知，点E为来回（直线）型路径，然后巧妙识别△BDE中的“SSA”结构，结合“斜大于直”原理，通过设元，巧列不等式，继而解决问题，一气呵成，荡气回肠；

至于点F的路径，还可借助如下方式先定性分析，再结合“斜大于直”原理定量计算：

例4.如图18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，求线段CQ长的取值范围.

简析：首先，感受问题的合理性：假设点P从点A向点B运动，当点P在起点A时，PQ∥BC，这样的点Q不存在；随着点P向点B运动，直至CP⊥AB时，点Q与点B重合，这时，CQ＝CB达到最大值；然后，点P继续向点B运动，点Q则向点C的方向运动，但当点P运动到点B时，点Q又与点B重合.由此猜想，存在某个时刻，BQ达到最大值，CQ达到最小值，其最小值可如下计算：

反思：感受问题的合理性，即先定性分析所要解决的问题，这是一种很好的解题习惯，应有意识地自我培养与训练.

本题“见直角，取中点”，依然通过识别△BPM中的“SSA”结构，结合“斜大于直”原理，巧设边长，妙列不等式，从而顺利解题.

以上几例，其共通之处都包含了一个有趣的结构，即“SSA”，如图20所示.

这样的分析反思，总结归纳是有效的，甚至是高效的.从这个角度类比探究，以上例题都是“一伙的”.类比学习、类比反思、类比总结，可以有效提高学习效率，强化解题技能，使学生彻底摆脱题海战术.

为强化本文的作用，特提供几道类题，供练习巩固之用：

四、类题训练

练习2：如图22，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为边AB上一动点，连接CD，作CD的垂直平分线，分别交BC、AC于点E、F.在点D从点B运动到点A的过程中，AF的最大值为，点E经过的路径长为 .

练习3：如图23，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，E是边BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，交边AB于点F，则AF的最小值为 .

五、答案与提示

通过本文可以看出模型识别与模型构造的重要性.以上各例均可以用一个原理来解释，即“斜大于直”原理，尤其是与解三角形中“SSA”结构的结合，它是解决一类最值或路径问题的通法，体现了多题归一的至高境界，值得学生深思.

如

何