【中考必读】2019全国中考好题多解精析(上)

数海一叶舟 2022-07-16

The following article is from 生长数学 Author 谈志国

假期过半，相信很多升初三的同学们已经开始努力了，本讲，我们选择一些2019年的中考真题，和同学们分享！

1.（2019•辽阳）如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为　　．

此题脱胎于安徽省2018中考题，原题如下：

解法：

用“轨迹定位法”思考，△PBE∽△CBO可知∠PBE=∠CBO，得P点在BC上，由△APC是等腰三角形得P点在“两圆一线”上（已知两点的等腰三角形模型），画图可得两轨交于两点，如下图，易求点P点坐标为（－4，3）或（－32/5，6/5）。本题关键是利用“轨迹定位法”确定P点的位置，坐标计算用相似还是比较简单的。

2.（2019•襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则CF：EF＝　．

解法：

本题所含模型有两个：“一转成双·手拉手”和“X形共边相似”，如下图，由两对相似形计算得CF：EF=CD：AE=√7：√3=√21/3。

3.（2019•沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　．

解法：

（1）寻找图中的基本模型，发现含有“四点共圆”模型和“母子相似”模型，从“定变分析”判断ΔCEF中已知两边夹角可确定边EF的长，如下图，由ΔECF∽ΔEFP得EF²=EC•EP，EP=13√2/2.

（2）在矩形背景问题中，用“改斜归正”策略可以建立坐标系用函数解决计算问题。如下图，建立坐标系易得G（-10，0）、F（0，-2），得直线GP为y=-1/5x-2，直线AP为y=-x，两线交点P坐标为（-5/2，-5/2），得CP=5√2/2，EP=EC+CP=13√2/2.

4.（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．

解法：

最值问题在中考卷中常盛不衰，《策略》中总结了线段最值的策略是“化同为异，化折为直”。这里CD两端点都是动点，虽然它们都在以A、B为圆心的圆上，但多了一个定角∠CMD的制约，C、D并不是完全自由的动点，所以不能用圆到圆的最短路径解决。考虑到已知线段AC、AB、BD与所求线段CD被分隔于CM、DM两侧，我们通过“运动变换”的方式让它们转化到同侧使之靠近以产生联系。如下图，沿CM、DM分别翻折A、B两点，产生等边三角形A′B′M，得已知线段CA′、A′B′、DB′，点到点之间的定线段共线时，两端距离最大，得CD最大为14.

本题要注意，CA′、A′B′、DB′共线时，ΔACM∽ΔBMD，所以须满足AC：AM=BM：BD时才可能实现CA′、A′B′、DB′共线，即AC、AB、BD要满足特殊关系才可用此法完成，题目特异性太强，可拓展性较差。

注：本题是一道老题，笔者早在2017年9月写的文章《八上第二讲全等辅助线（1）截长补短》，其中的思考题，就和本题几乎一致，如果你关注的早的话，也许早就有所收获了！

5.（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为．

解法：

此题是“将军饮马”的变式，两个定点在动点轨迹同侧时，三点共线则其距离差最大，依据是“三角形两边之差小于第三边（共线相等）”，或“两点之间，线段最短（PM≤PN′+MN′）”，如下图，PM-PN=PM-PN′≤MN′=2，得PM-PN的最大值为2.

6.（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则AP/AT的最大值是　．

解法：

（1）转化AP/AT=(AT+PT)/AT=1+PT/AT，由线段比联想到构造相似形，作PE⊥BD、AF⊥BD，得PT/AT=PE/AF，AF为定值，因此求PE的最大值即可，顺利转化为圆到线的最大路径问题（模型9），当PE过圆心时取得最大值，此时PE为圆C的直径，AF等于圆C的半径，所以PT/AT=PE/AF=2，即得AP/AT最大值为3.

（2）作PE∥BD交AD延长线于E，转化AP/AT=AE/AD，AD为定值，则AE最大即可，PE距离BD最远时AE最大，显然最远距离为直径，同样可求AP/AT的最大值为3.

类似地，还可以作下面的辅助线。

这里构造图形的目标是把AP、AT两条不定线段转化为含一条定线段的式子，把问题转化为求一条不定线段的最值，转化为几何最值中的基本问题。

7.（2019•桂林）如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A₁，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为　．

解法：

这是一道典型的动点路径问题，包含两种路径模型，点A₁满足“定点+定长”（A₁B为定值），它的轨迹是圆弧，点Q满足QC/A₁C=1/2，是“主从联动”模型，从动点Q的路径是主动点A₁路径的一半，P在终点D时，∠ABD=60°，所以∠ABA₁=120°，可求弧AA1的长为2√3/3，Q点路径是A₁点路径的一半，即为√3/3.

我们解题时始终遵循“可视化”“简单化”原则，观察图形特征，联想相关知识模型，构造适当的辅助图形，从条件出发推理得到新结论，把难题转化为易于解决的问题。这种意识和习惯要进行系统化的科学指导和长期练习才能形成，就是所谓的“刻意训练”，笔者将继续努力为师生贡献思维训练的科学方案和完整材料。

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