【初三预习】最全《二次函数》知识&例题详解！

原创：Leo老师

来源：玩转初中数学

推荐阅读：

一、什么是二次函数？

【引例】一个正方体的棱长为a，它的表面积为S，于是我们可以得到函数关系式：S=6a²，这里a是自变量，S是a的函数，因为这里自变量的最高次数是2，所以我们把它称为二次函数

我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义)：

我们根据列表绘制出它的图像：

我们发现：

二次函数的图像是一条抛物线

二、二次函数的图象研究

刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线，那么这条抛物线有什么特点那？

二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）

（1）我们先来研究a与抛物线y=ax²+bx+c图像的联系

我们发现：

当a>0时，抛物线开口向上；

当a<0时，抛物线开口向下

观察上面的抛物线我们发现：

当a>0，a越大，开口越小

当a<0，a越大，开口越大

即|a|越大，开口越小

（2）抛物线与y轴的交点

对于y=ax²+bx+c，令x=0，得y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c)

（3）抛物线与x轴的交点

对于y=ax²+bx+c，令y=0，就转化成了一元二次方程ax²+bx+c=0

我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b²-4ac来判断，

①当△>0时，方程有两个不相等的实根

②当△=0时，方程有两个相等的实根

③当△<0时，方程无实根

而一元二次方程ax²+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数是相对应的

①当△>0时，抛物线与x轴有两个交点

所以，当给出两个交点时，我们也可以把函数关系式写成：

我们也把这个关系式叫做交点式

②当△=0时，抛物线与x轴有一个交点

③当△<0时，抛物线与x轴无交点

（4）抛物线的顶点及对称性

不难发现，抛物线是个轴对称图形，那么它的对称轴是什么那？

我们随便找一个二次函数y=2x²-4x+1，我们对它进行配方，得到y=2(x-1)²-1

我们利用列表法描点：

根据图像我们发现：

此函数图像的对称轴为x=1

当x<1，即在对称轴左侧时，抛物线呈递减趋势；

当x>1，即在对称轴右侧时，抛物线呈增强趋势；

当x=1，即在对称轴上时，y=-1，

而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)²-1的顶点

下面我们对一般情况进行分析：

对二次函数一般形式y=ax²+bx+c进行配方得：

因此抛物线y=ax²+bx+c的

对称轴：

顶点坐标：

所以我们也把

称为顶点式

（5）抛物线的增减性与最值

观察图像，我们发现：

①若a>0

②若a<0

三、二次函数图象分析常用图

四、二次函数题型归纳及做题技巧

类型一   二次函数的概念

【知识点】

判断二次函数解析式的三个特征：

①整式；②a≠0；③化简后x的最高次数是2

例题1  下列函数中属于二次函数的是（  ）

A. y = 2x + 1      B. y = (x - 1)² - x²

C. y = 2x²           D.

【提示】

根据二次函数解析式三个特征

例题2  已知是y关于x的二次函数，那么m的值为（   ）

A. -2     B. 2     C. ±2     D. 0

【提示】

根据二次函数解析式三个特征

---

类型二   二次函数的图像和性质

【知识点】

二次函数y=ax²+bx+c图像性质

1、根据a判断开口方向，|a|判断开口大小

①a>0，开口向上；a<0，开口向下

②|a|越大开口越小，

    |a|相等，抛物线的开口大小，形状相同

2、根据c判断与y轴的交点位置

①c>0，交于y轴正半轴

②c<0，交于y轴负半轴

③c=0，抛物线经过原点

3、根据△判断交点个数

①△>0，与x轴有2个交点

②△=0，与x轴有1个交点

③△<0，与x轴无交点

4、对称轴

对称轴是直线x = -b/2a

①b=0时，对称轴为y轴

②b/a>0（即a、b同号），对称轴在y轴左侧

③b/a<0（即a、b异号），对称轴在y轴右侧

5、根据开口方向和对称轴判断增减性

①a>0，对称轴左侧递减，右侧递增

②a<0，对称轴左侧递增，右侧递减

6、看图象判定代数式的值或范围

①判断a，b，c的符号和取值

根据开口方向及大小，对称轴在y轴哪侧，与y轴交点判断

②如何得到a±b+c的值或范围

x取±1时可得出

③如何得到2a±b的值或范围

比较对称轴-b/2a与±1的大小关系得出

④如何得到b²-4ac的大小

根据图象与x轴的交点个数

⑤如何得到a，b，c的关系式

试试经过的点代入

⑥碰到特殊的技巧和规律就积累下来

例题3  函数y= - x²  + 1的图象大致为（   ）

【提示】

根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图象

例题4  关于抛物线y = x² - 2x +1，下列说法错误的是（  ）

A. 开口向上

B. 与x轴有两个重合的交点

C. 对称轴是直线x = 1

D. 当x>1时，y随x的增大而减小

【提示】

根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图像，或直接画出图象

例题5 下列图像中，有一个可能是函数y = ax² + bx + a + b（a≠0）的图象，它是（）

【提示】

根据y = ax² + bx + a + b（a≠0），对a，b的正负进行分类讨论，把一定错误的排除掉即可得到正确选项

例题6  已知函数y = ax² + bx + a + c，当y > 0时，-1/3 < x < 1/2，则函数y = cx² - bx + a的图像可能是图中的（）

【提示】

根据a，b，c分别对图象的影响或利用根与系数的关系

例题7  如图，已知二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图像与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x = 1.下列结论：

①abc＞0  ②4a+2b+c＞0  ③4ac-b²＜8a ④1/3 < a < 2/3   ⑤b＞c

其中含所有正确结论的选项是（）

A. ①③     B. ①③④    C. ②④⑤    D. ①③④⑤

【提示】

根据对称轴及图象开口方向向上可判断出a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），从而判断②；根据图像经过（-1，0）可得到a，b，c之间的关系，从而判断③⑤；从图像与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，从而判断c的大小，进而判断④

---

类型三   利用二次函数的对称性解题

【知识点】

1、若抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称

如上图，经过抛物线的A、B两点的纵坐标都是2，那么它们一定关于对称轴对称

2、若抛物线上A、B两点关于对称轴对称，且它们的横坐标分别为m、n，则对称轴为x=(m+n)/2

例题8 二次函数y = ax² + bx +c，自变量x与函数y的对应值如表：

下列说法正确的是（）

A. 抛物线开口向下

B. 当x＞-3时，y随x的增大而增大

C. 二次函数的最小值是-2

D. 抛物线的对称轴是x=-5/2

【提示】

注意表格中给出的y值，有三对相同的数字，而它们都是图象上点的纵坐标，抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称，再根据二次函数的性质逐项判断

例题9  

【提示】

根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，关于对称轴对称，即可判断

例题10   如图，抛物线y = x² - bx + c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x = 2

（1）求抛物线的解析式

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

【提示】

（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，求出b，c即可；

（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质连接BC与x=2交于点P，点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可

---

类型四   根据条件确定二次函数的解析式

【知识点】

注：有顶点信息用顶点式，有交点信息用交点式，没特殊信息用一般式

例题11   已知某二次函数的图象如图，则这个二次函数的解析式为（）

A. y = - 3（x - 1）² + 3

B. y =  3（x - 1）² + 3

C. y = - 3（x + 1）² + 3

D. y = 3（x + 1）² + 3

【提示】有顶点信息，用顶点式

例题12   已知二次函数的图象经过（-1，-5），（0，-4），（1，1），则这个二次函数的表达式为（）

A. y = - 6x² + 3x + 4

B. y = - 2x² + 3x - 4

C. y = x² + 2x - 4

D. y = 2x² + 3x - 4

【提示】无特殊信息，用一般式

例题13   已知二次函数图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数图象的关系式是_____________________.

【提示】有交点信息，用交点式

---

类型五   利用二次函数解决实际问题

例题14   在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm²，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（  ）

A. y = (60+2x)(40+2x)

B. y = (60+x)(40+x)

C. y = (60+2x)(40+x)

D. y = (60+x)(40+2x)

【提示】挂图面积 = 长×宽 =(60+2x)(40+2x)

例题15   某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件.

（1）求售价为70元时的销售量及销售利润

（2）求销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；

（3）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？

【提示】可参考（九年级第5讲）一元二次方程的实际应用

---

【参考答案】

例题1：C

例题2：A

例题3：B

例题4：D

例题5：C

例题6：D

例题7：D

例题8：D

例题9：D

例题10：

（1）解析式为：y=x²- 4x + 3

（2）点P的坐标为（2，1）

例题11：A

例题12：D

例题13：y= x² - 3x + 2

例题14：A

例题15：

（1）销售量：600（件），销售利润：12000（元）

（2）关系式：y= -20(x-75)² + 12500

          最大利润：12500元

（3）定价为70元或80元时这批服装可获利12000元

如

何

关

注

QQ端：

将本文直接分享到微信好友聊天页面，

点击蓝字即可关注．

点击最右下留言，期待您的宝贵意见！

您的分享和转发，是对我最大的支持！

如能在文中轻点一次guang gao，

或者为文章点一次在看！

不仅对我是莫大的鼓励，

更是我长期更新的动力！

好书推荐

《领跑数学 中考二轮专题复习》

现在下单，真的物超所值．

因为本书只剩200多本，

而且可能就此一版哦！

书中专题

完美契合19年多地中考哦

购买方式：

1、点击下方 阅读原文 链接

2、扫描识别上图中二维码下单

3、后台回复 领跑数学 获取微店地址

更多精彩内容“阅读原文”

右边给我一朵小花花

推荐阅读：

《以微课堂》旗下公众号矩阵

 长按二维码识别关注

     小学版           初中版           高中版

点击下方"阅读原文"有惊喜！