七上第2讲 学好相反数，“绝对值”！(上)——典型例题篇
写在前面
绝对值和相反数一节，是学习有理数运算前的重要内容，其知识点多，概念易混淆，是很多学生的难点，因此，计划用2讲的篇幅，对这一节内容的重难点，易错点做一个归纳！
本讲主要针对这一节的典型例题．
一、知识脉络
1.绝对值
(1)绝对值的定义(几何意义)
数轴上，表示一个数的 点与 原点的距离，叫做这个数的绝对值．
(2)绝对值的表示方式
数a的绝对值记作|a|．
(3)绝对值的非负性
一个数的绝对值是非负数，记作|a|≥0．
(4)绝对值的代数意义
补充：
绝对值是它本身的数是非负数．
绝对值是它相反数的数是非正数．
2.相反数
(1)相反数的定义
符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数．
(2)相反数的表示方式
这个数的前面添加一个“－”号．
数本身的表示方式
这个数的前面添加一个“＋”号．
(3)多重符号的化简
在不含绝对值形式前提下
若一个正数前面有偶数个“－”，其结果为正，
若一个正数前面有奇数个“－”，其结果为负．
(4)相反数的一些形式
a，b互为相反数←→a＋b＝0
二、典型例题
(1)0＋0型及变式
例1
已知|x－3|＋|y－0.5|＝0，求x、y的值．
分析：
根据绝对值的非负性，两个非负数相加，和要为0，只可能是0＋0型，因此，两个绝对值均为0．
解答：
由题意得，
|x－3|＝0，|y－0.5|＝0
∴x＝3，y＝0.5
变式
若|a－3|与|3b－6|互为相反数，求a－b的值．
分析：
由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为0＋0型．
解答：
由题意得，|a－3|＋|3b－6|＝0
|a－3|＝0，|3b－6|＝0
∴a＝3，b＝2，a－b＝1
(2)相反数的应用
例2
若x与3x－4互为相反数，则x＝_____．
分析：
由两式互为相反数，得到两式之和为0，转化为关于x的方程．
解答：
由题意得，
x＋3x－4＝0
4x－4＝0
x＝1
变式
若|m－2|与－7互为相反数，则m ＝_____．
分析：
由两式互为相反数，得到两式之和为0，|m－2|＝7，此时有两种思路：
一种，可得m－2＝±7，
一种，利用绝对值的几何意义，|m－2|表示数m的点与数2的点之间的距离，距离为7，则数m的点只需将数2的点向左或向右平移7个单位得到．
解答：
由题意得，
|m－2|＝7
m－2＝±7，
m＝9或－5
(3)多解问题
例3
如果两个有理数的绝对值分别是3和1，求表示这两个数的点之间的距离．
分析：
对于两个有理数，我们不妨设为a，b，数a的绝对值为3，则a＝±3，同理，b＝±1，此时，两个点的距离，就需要分情况讨论，a，b各有2种情况可搭配，总共四种情况．最后别忘了总结．
解答：
设两个有理数分别为a，b，
由题意得，a＝±3， b＝±1，
当a＝3，b＝1时，这两个数的点之间距离为2．
当a＝3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为4．
当a＝－3，b＝1时，这两个数的点之间距离为4．
当a＝－3，b＝－1时，这两个数的点之间距离为2．
综上，表示这两个数的点之间的距离为2或4．
例4
已知|a|＝5，|b|＝3，且|a－b|＝b－a，求a、b的值．
分析：
由第一个条件，易知a＝±5， b＝±3，由|a－b|＝b－a，可知a－b的绝对值是它的相反数，则a－b是非负数，a－b≤0，a≤b，从而可以分类讨论，确定a，b的值．
解答：
由题意得，
a＝±5， b＝±3
∵|a－b|＝b－a，
∴a－b≤0，a≤b，
例5
分析：
由文字语言，我们要学会翻译为数学符号语言，互为相反数，则和为0，商为－1．互为倒数，则积为1，绝对值是2，m＝±2，然后分类讨论求值．
解答：
(4)绝对值化简
例6
|3－π|＝_____．
分析：
绝对值化简，首先要考虑原式的正负性，正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，显然3－π是负数，绝对值是其相反数．
解答：
|3－π|＝π－3
例7
若1＜x＜5，|x－1|＋|x－5|＝_____．
分析：
由1＜x＜5，可得x－1＞0，x－5＜0，则前者绝对值是其本身，后者是其相反数．
解答：
原式＝x－1＋5－x＝4
例8
若a＜b＜0，化简|a－b|－|a|＋|b|．
分析：
由a＜b，知a－b＜0，故其绝对值是其相反数，a，b的绝对值均为其相反数．
解答：
原式＝b－a－(－a)＋(－b)
＝b－a＋a－b
＝0
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