大自然：我只是想偷个懒，谁知道能产生这么复杂的图案？

自然非常懒惰，总是重复套用一些简单规则，来生成各种复杂图案。

变色龙（图片来源：Chiswick Chap）

人类大脑天生擅长识别各种图案，比如湖面的波纹、斑马的条纹、乌龟的壳、层层黛瓦，甚至晶体结构。

眼睛告诉我们，图案是一些图样不断重复，周期性排列。不过你有没有想过，自然是如何创造出这些复杂图案的呢？

答案或许比想象中简单得多，靠一遍又一遍重复同样的简单规则。1952年，天才的计算机科学家艾伦·图灵提出一种理论认为，仅仅通过简单的物理和化学定律，就能形成自然界丰富多样的图案，从动物的斑纹，到植物叶和花的排列，再到沙漠的波纹……

从这个角度而言，所谓的大道至简，其实不过是自然很懂得偷懒。

斑马条纹（图片来源：Quanta Magazine）

图灵斑图

最初吸引图灵思考图案形成原理的是这样一个问题：在胚胎发育早期，由相同细胞组成的球形胚胎如何发育成了具有不同特征的有机体，使得一些细胞长成四肢，另一些长成眼睛，等等。也就是说，生物体如何从均匀对称自发分化出不同结构，经历所谓的对称性破缺。

图灵提出，是一种叫做形态发生素的化学物质在细胞和组织中扩散，像墨水在水中扩散一样，将胚胎塑造成了不同结构。不过对于形态发生素到底是什么，图灵却含糊其辞，它们可能是激素，也可能是基因。关键之处在于，它们扩散并相互反应。

有趣的是，图灵的理论对于胚胎发育并非必需，反而对生物学中的模式形成产生了广泛影响。它证明了生物的发展并不需要注入神秘的生命力，而是同样遵循普通的物理化学规律。

1972年，德国马克斯·普朗克病毒研究所的发育生物学家在不知道图灵工作的情况下，独立提出了一种生物模式形成理论。他们发现，静态的化学模式可以仅仅由两种相互作用的成分产生：一种是激活剂，它是自催化的，可以促进图案生长，另一种是抑制剂，可以抑制激活剂的作用。

抑制剂由于扩散速率更快，会将激活剂的扩散限制在局部区域，并阻止相邻斑块距离太近。这就像一片森林由于干旱有许多起火点，如果迅速扑灭火苗，就只会让一些区域沦为焦土，火势不会蔓延到整片森林。

事实上，这里的激活剂和抑制剂正是图灵所说的形态发生素。这种激活-抑制的方案可以产生斑点、条纹等图案，这被称为图灵斑图。理论上，图灵斑图可以是完美有序的点阵或条纹阵列，但在实际中，随机缺陷会打破这种完美，产生错落有致却并非秩序井然的图案。

美洲豹的斑点、华南虎的条纹都是图灵斑图（图片来源：USFWS/维基百科，J. Patrick Fischer）

自然如何创造图灵斑图

猎豹的斑点、斑马的条纹、贝壳的纹路，还有瓢虫甲壳上鲜艳的斑点，都可以用图灵斑图很好地解释。要识别出图灵斑图并不难，但要找出是哪些反应发挥了激活剂和抑制剂的作用，则非常具有挑战性。

斑马鱼的身体侧面覆盖着五条横纹，从头部延伸到尾巴，和斑马颇为相似。对斑马鱼条纹的实验表明，它们确实是按照图灵机制形成，但不是利用分泌到身体中的化学物质，而是用两种不同类型的细胞，嵌入细胞膜中的分子很可能发挥了激活和抑制的作用。

斑马鱼（图片来源：维基百科）

鲨鱼的皮肤表面覆盖着一层叫做皮齿的微小鳞片，像盔甲一样保护它们的身体。这些皮齿的排布也会形成图灵斑图，正如鸟类羽毛、哺乳动物毛囊的排布一样，而且，促使它们形成图灵斑图的很可能是类似的基因。这些基因穿越数百万年的演化历史，在亲缘关系遥远的鸟类和鲨鱼身上都保留了下来。

鲨鱼头部皮齿的排布形成图灵斑图（图片来源：Rory Cooper/QuantaMagazine）

图灵斑图不仅出现在生物体中，在自然界可以说无处不在。自然似乎非常懒惰，一旦发现图灵斑图这样简单而高效的方法，就会乐此不疲地一再使用，制造出各种美丽图案。

例如，沙漠的波纹和图灵斑图非常类似。沙堆由风吹的沙粒沉积而成，随着一道沙堆变大，会从空气中吸收更多沙子，从而进一步促进自身生长。不过在长大过程中，沙堆从风中留下了沙子，也抑制了其他沙堆在旁边形成。这个过程类似于一种激活-抑制系统，确保一道道沙堆之间的距离大致均匀。

沙漠的波纹（图片来源：Bob Wick, BLM）

图灵斑图也可以出现在原子尺度上。7月8日，发表在《自然·物理学》上的一项最新研究发现，在二硒化铌（NbSe₂）晶体表面形成的铋单原子层，由于原子间相互作用和动力学影响，会形成规则的条纹图案，相邻条纹间距为5个原子（大约2纳米）。这里促使图案形成的只有一种化学成分，那就是铋原子。铋原子在垂直方向和水平方向的不同位移，发挥了激活剂和抑制剂的作用，创造出了这种目前最小的图灵斑图。

纳米尺度也可以形成条纹状的图灵斑图（图片来源：Yuki Fuseya from University of Electro-Communications）

我们可以看到，从宏观到微观尺度，从生命到非生命世界，如果有任何两种作用可以作为激活剂和抑制剂，彼此之间达到一种动态平衡状态，总是可以产生周期性的模式。这些模式形成的具体机制或许不同，背后却遵循着相同的数学规律。

大自然的语言是数学

说到这里，我们自然会想到伽利略那句话，大自然的语言是数学。

其实除了图灵斑图，自然还有一种图案形成机制——分形。分形同样是从非常简单的数学物理规则，得到自然中各种复杂美妙的图案。比如，蜿蜒的海岸线、险峻的山峰、不断分叉的树枝和闪电、你喜欢或不喜欢吃的花椰菜，甚至身体里曲曲折折的血管，都是分形结构。

分形结构又是如何创造出来的呢？和反复利用图灵机制时一样，懒惰的自然再次使出绝招——重复。

以最简单的一种分形结构——科赫曲线为例，从一个等边三角形开始，将每条边中间的三分之一替换成一个较小的等边三角形的两条边组成的“尖峰”，接着继续重复同样的操作，无限重复，最终会得到一个雪花一样的美妙曲线。

科赫曲线（图片来源：维基百科）

另一种分形结构——曼德布洛特集合，则可以由一个简单的公式反复迭代获得。

如果我们像放大一张地图一样不断放大分形结构，会发现它的复杂性并不会减少，同样的结构会一次又一次出现。即使无限放大，也可以看到复杂瑰丽图案内部的精妙细节。也就是说，分形结构的局部和整体的形状是相同的，在不同尺度上看起来一模一样，具有自相似性和尺度不变性。

曼德布洛特集合即使无限放大，也可以看到复杂瑰丽图案内部的精妙细节（图片来源：维基百科）

分形结构向我们展示出，简单规则的无限重复，可以产生惊人的复杂性，也让我们看到更真切的自然。

巍峨险峻的山峰也是分形结构 （图片来源：维基百科）

正如“分形之父”曼德布洛特在《大自然的分形几何学》一书中所说：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的分形。”

参考文献：

[1]https://www.chemistryworld.com/features/turing-patterns/4991.article

[2]https://www.chemistryworld.com/news/tiniest-turing-patterns-found-in-atomically-thin-bismuth/4013979.article

[3]https://www.uec.ac.jp/eng/news/announcement/2021/20210709_3528.html

[4]Fuseya, Y., Katsuno, H., Behnia, K. et al. Nanoscale Turing patterns in a bismuth monolayer. Nat. Phys. (2021). https://doi.org/10.1038/s41567-021-01288-y

[5]https://www.quantamagazine.org/ancient-turing-pattern-builds-feathers-hair-and-now-shark-skin-20190102/

[6]https://www.quantamagazine.org/biologists-home-in-on-turing-patterns-20130325/

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