畅游一下分析数学
日期：2018年12月20日
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来源：张凯军
分析数学
据说高考改革方案中的数学考试占有重要份额，由此联想到为什么"社会这样喜爱数学"这个教育问题。既然数学被民众"重视"到了如此地步，索性就让大家看看高深数学王国中一些一线城市的风貌。只要大胆和坚持，保证会有点滴收获。
面对数学的峦峰，其实所有的数学人都是数学努力进程中的无穷小量。对那些让我们崇拜与尊敬的伟大数学家们而言，当对比广博的数学同仁时，他们才是数学努力进程中的无穷大量。要想成为数学的无穷大量型人才，第一件事就是在心理上必须解除任何的“名人未解、自己无望”的悲观研究心理障碍，使得自身处于完全无约束的能量自由勃发状态，然后才可能真实地验证出自己的数学价值。非数学人士其实可以类似地打开自己数学心扉和挖掘数学潜能。在数学成才教育中，学生自身的潜能、兴趣、能力、志向、毅力、勤勉与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 广大数学爱好者非数学符号地进入现代核心分析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速提高数学素养的捷径。
撰写本文的动力是教育成才理念的鼓舞，而非作者学识之因。泛函分析，调和分析，复分析，随机分析，偏微分方程和大范围分析等核心分析数学学科的知识宝库足以让代代数学人追求永远，因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动，但通过教育的望远镜却可以领略其几何的教育外貌，这也许正是本文的微小作为之处。
(一) 泛函分析
泛函分析是现代分析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学，乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与Fredholm算子、Banach代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。泛函分析的主要研究方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。
泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”，而从“地上”到“天上”的一个数学抽象推广过程。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只考虑线性映射的运算性质，那就是线性代数。若考虑非线性映射的连续性与光滑性，那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间，再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。数学分析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。注意到这一点之后，又可以从“天上”回到“地上”了。把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源。泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。
Fields 奖获得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf奖获得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名数学家在泛函分析领域都做出了巨大成就。
泛函分析的参考书目推荐如下：
（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。
（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。
（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。
（4）张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，上册，1987。
（5）张恭庆，郭懋正，泛函分析讲义，下册，1990。
（6）W. Rudin，Functional Analysis，1991。
（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。
（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。
（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。
（二）调和分析
调和分析是现代分析数学的核心领域之一，其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。几个世纪以来，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。
从应用角度来说，有效确定Fourier级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的Fourier方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。
抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter-Weyl 定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在Plancherel定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。
下面主要对上的调和分析内容进行简要的描述，以便对调和分析方向的研究与学习有一点点便利。
覆盖技术、极大算子、Calderón–Zygmund分解、内插技术和奇异积分算子是现代调和分析的基本内容。覆盖技术不仅是测度论的重要工具，也是调和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 极大算子理论的建立与覆盖技术息息相关。上的H.- L极大算子理论主要体现了一类非线性算子的-有界性理论，并且可以解决很多现代分析的重要问题。Calderón–Zygmund分解技术是研究奇异积分的实变量分析的关键方法，即把任意的可积函数拆分成“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技术分别处理各个部分是其思想精华所在。奇异积分算子是由带有奇异性的积分核所产生的。奇异积分算子的-有界性问题是重要的研究问题之一。奇异积分算子的理论目前已经很是丰富了。
从Fourier级数和Fourier变换的经典Fourie分析到Hardy–Littlewood 极大算子和奇异积分算子等理论，可以认为是调和分析的一次飞跃。调和分析的另外一次重大飞跃应该是-空间（Hardy空间）、有界平均振荡函数的BMO空间和-权理论的建立与完善。笔者认为：调和分析的最后一次飞跃也许是调和分析方法在分析学科的世界级数学猜想的解决方面的有效实践问题。
Hardy空间的研究起源于Fourier级数和单复变量分析，至今已经有丰富的内涵，特别是高维实方法的介入，使得-空间理论有了本质性的现代发展。有界平均振荡函数的BMO空间，也称为John- Nirenberg空间，是在分析大师F. John和L. Nirenberg首次研究了该空间的拓扑性质的基础上而给出精确定义的。-空间，BMO空间和-权理论是现代调和分析的三大发明。C. Fefferman获得Fields奖的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基础上，发现了BMO空间是-空间的对偶空间。BMO空间在分析数学的众多领域和概率秧论中都有重要的应用。在BMO空间基础上，L. Nirenberg与H. Brezis合作，还发现了作为BMO空间的子空间的VMO空间（消失平均振荡空间），特别是将拓扑度理论推广到属于VMO空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。-权理论在奇异积分算子有界性研究中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 对-权理论的建立做出了重要贡献。
我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和分析领域取得了世界领先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和分析》曾获得首届国家自然科学奖一等奖。北京大学的调和分析学派为中国调和分析方向的人才培养做出了巨大贡献。
获得过Wolf奖和 Fields奖的调和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。
关于调和分析的数学著作推荐如下：
（1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。
（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。
（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。
（三）复分析
在代数与分析学科中，复数域都是重要的基本数学沃土。复变函数的微积分理论就是经典复分析的主要内容之一。在复数土壤上的微积分，除了继承传统，当然也必定会出现新的天地，例如，Cauchy积分理论，Weierstrass 级数理论和复Riemann几何理论等就是复数域上的特有理论。在大学的复变函数论课程中，作为双射解析映射的共形映射理论应该是课程的亮点部分之一。解析映射的无穷次可微性、非临界点处的局部保角性，以及非常值映射的开集映成开集的开映射性质等都是解析映射的本质性性质。解析映射的实部与虚部所对应的Cauchy-Riemann方程更是深入推广解析映射理论的偏微分方程出发点。大学本科的复变函数内容已经在除了数学之外的工程技术、电子工程和航天工程等领域产生了重要应用。
复分析可以分成单个复变量函数论，多个复变量函数论，以及复流形上的分析理论等三个重要部分。自从19世纪左右单复变产生以来，单个复变量函数论的理论已经十分完善。随之发展的多个复变量函数论理论已经成为现代主流分析数学领域之一。研究生阶段的单复变复分析内容主要包括Riemann映射定理、共形映射的边界对应定理、单值性定理、广义Schwarz引理、共形不变量（共形模与极值长度）、拟共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、单值化定理以及复变函数逼近论等重要内容。鉴于单复变理论的日臻完善，该领域的研究趋势正在向复动力系统方向纵深发展。研究生阶段的多复变课程主要是在经典多复变与现代多复变两个方面加以介绍。前者是单复变理论的高维复空间推广理论：高维复空间中的代数域及其上的多复变函数论，而后者是复流形上的相应函数论理论。多复变课程难度更大，因而学生队伍一般较小。多复变函数论作为单复变函数论的推广理论，也同样面对继承与发扬的根本性问题。多复变有别于单复变的两个基本定理是“不存在双全纯映射将高维复空间中的单位超球映为同一空间中的多圆柱体”的Poincaré定理，以及“高维复空间中存在如此的区域使得在此区域上的全纯函数一定可以全纯延拓到更大的区域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在维数大于或等于2时单复变的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理产生了高维复空间中函数论研究的合适区域判别问题。复流形上的函数论、上同调、微分形式、Cauvhy积分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等内容是现代多复变的核心内容之一。
我国数学家在单复变与多复变领域都取得了世界先进水平的研究成果。例如，我国熊庆来学派的数学家在单复变亚纯函数的值分布论领域做出了世界级的研究成果。华罗庚学派的数学家在多复变函数论中典型域上的调和分析、典型域、典型流形、积分表示与边值问题、Schwarz引理、拟凸域等诸多方向都取得了世界领先成果。
Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家L. V. Ahlfors，L. Carleon，H. Cartan，Kodaira Kunihiko，J. P. Serre，C. L. Siege，S. K. Smirnov等都在复分析领域取得了杰出成就。
关于复分析的入门数学著作推荐如下：
（1） W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。
（2） H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。
（3） L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。
（4） 龚 昇, 简明复分析，1996。
（5） 李 忠，复分析导引，2004。
（四）随机分析
随机分析是概率论分析数学深入发展的现代数学分支。在随机过程理论基石的基础上，渗透拓扑、代数、几何、分析等核心数学的思想方法，交融于实际与应用问题的背景之下，随机分析已然成为当今世界主流数学分支俱乐部的重要成员。我国数学家的随机分析水平已经步入世界先进行列，在国际数学家大会上已经应邀做一小时报告和四十五分钟报告。我国的随机数学研究队伍也以中国科学院和一些著名大学的随机数学学派驰名于世界。
随机数学的两个基本细胞应该是测度论与随机性。随机性是自然界中普遍存在的客观现象，测度论是分析数学的重要数学结构。用数学模型的观点看世界是数学家博大奉献胸怀的基本写照，如随机数学的应用内涵所在一样。仅从数学角度看随机数学，那么真的不必非要提及随机二字，只要研究测度论的发展就可以了。全有限测度空间上的微积分理论，或者分析理论，其实就是随机分析学者的日常工作。当然，以两种不同的观点来看待测度论意义下的可测函数族，在思想方法上会对两种不同的研究发展带来本质的区别。例如，把可测函数族视为随机变量族的随机过程的轨道空间思想，对随机数学的发展是至关重要的。
常微分方程模型刻画的光滑向量场轨道与随机（常）微分方程模型刻画的随机次光滑轨道对实际问题的接近度往往是后者更佳。于是，随机微分和随机积分的概念就是最为关键的学科创建因素了。Wolf奖获得者K. Ito对布朗运动定义的随机积分概念，以及随之发现的Ito积分公式，使得随机分析成为分析数学文库中的美丽诗篇。布朗运动样本轨道函数的连续，但几乎处处非有界变差和处处不可微的性质使得通常的Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue- Stieltjes积分按样本轨道函数无法定义，因为Riemann-Stieltjes积分定义中的Darboux和不以概率1收敛。但是，前述Darboux和可以在均方意义下收敛。也正是这一点激发了Ito积分的创建灵感和确立了Ito积分的独立地位。注意到随机过程的样本轨道的不光滑特点，后继的很多随机数学分支，如随机微分几何等都由此得到了数学的独立地位。本科阶段的随机分析课程多数是以随机微分方程课程的形式出现的，并且主要讲授Brown运动和白噪声的基本性质，随机积分与Ito公式，随机微分方程的可解性等基本内容。对不同类型的随机过程可以在适当意义下定义相应的随机积分的事实也常常加以简述。研究生阶段的随机分析课程是可以“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”的。倒向随机微分方程，狄氏型理论，大偏差理论，无穷维随机分析，拟似然分析，自由概率论，随机偏微分方程，随机动力系统，随机微分几何等等都是研究生随机分析课程的有益食材。当然，这一阶段的随机分析已经步入综合核心数学的家园，已经不是只了解与掌握测度论就行那样简单的事情了。数学的真正魅力所在，其实就是大一统的数学价值观，随机分析的高深境界也不例外。
关于随机分析的数学著作推荐如下：
（1）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。
（2）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。
（3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。
（4）P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。
（5）黄志远，随机分析学基础（第二版），科学出版社，2001。
（五）偏微分方程
偏微分方程可以顾名思义地理解为含有未知函数及其若干偏导数的数量关系式。未知函数就是人类对神秘未知的自然界现象的目标数学模型函数。导数就是目标函数随着时间变化的变化快慢程度。偏导数就是自然界中影响因素的多元化而导致的对其中的部分因素的变化率刻画。从因果关系出发，偏微分方程可以被认为是自然界一切因果现象的数学模型，于是乎其数学之外的应用价值的巨大程度是可想而知的。
偏微分方程在数学王国内的地位也是富贵有加的。美国麻州的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件轰动媒体的大事：对以下七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元寻求解答：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨- 米尔斯理论、Navier –Stokes 方程、BSD猜想。这七个世界级的数学难题中，至少有两个半问题是与偏微分方程有关的。此外，中国科学院数学物理学部的所有院士中，至少有四分之三的院士熟悉偏微分方程，而且所有数学院士中有近一半院士的数学研究工作与偏微分方程有关。偏微分方程的吸引力之所以如此之大，其中一个主要的原因就是偏微分方程的理论价值与应用价值皆为“无穷大”。如果把整个数学比喻为宇宙，地球被比喻为数学外的应用领域和数学内的分析数学，地球外（包括大气层）的宇宙部分被比喻为核心数学，那么偏微分方程就是可以自由往返于地球和外部空间的“空天航天器”。千年数学难题中的庞加莱猜想最近已经被解决，而这一看似与偏微分方程知识无关的拓扑问题却被借用偏微分方程的理论和思想方法所解决。从硬分析到软分析，再到现代分析，甚至是其它核心数学领域，偏微分方程的身影几乎处处存在。
我国数学家的偏微分方程研究水平已经达到世界级水平，以中国科学院和一些著名大学的偏微分方程学派为主的科研成果早已在世界一流数学杂志上频频出现，并且中国偏微分方程团队与世界级的众多国际偏微分方程团队的学术交流与影响已经处于互利双赢的境界。
偏微分方程可以分为线性与非线性的，也可以分为一阶方程，二阶方程和高阶方程，或者椭圆型、抛物型、双曲型等等。每一种情形都有庞大的理论体系和研究成果。与常微分方程不同，绝大多数的偏微分方程不能求出通解或解的解析表达式，甚至是线性方程也可以没有解。同时物理与工程技术的问题也需要把方程与定解条件（初值条件、边界条件等）来一起考虑。所以，定解问题是偏微分方程的主要研究对象，当然极少数的非线性偏微分方程也还是有精确解的表达式的。
大学本科阶段的偏微分方程课程主要讲授线性的一阶方程和二阶方程，特别是相应方程定解问题的适定性：解的存在性、唯一性与稳定性，其中存在性部分多数限于具体的解法。研究生阶段的偏微分方程课程主要研究解的定性理论和不同意义下解的适定性问题。首选的讲授内容就是广义函数、Sobolev空间、泛函分析高级课程和偏微分方程的现代方法。偏微分方程领域有四大法宝：微局部分析理论、先验估计技术、调和分析方法与弱收敛方法。微局部分析理论起源于一般线性偏微分方程的研究，善用诸如广义函数的波前集，拟微分算子，Fourier积分算子，仿微分算子、超函数等一些现代分析数学工具。在非线性偏微分方程的最新研究中，也已经发现了微局部分析的应用。先验估计是假设解存在的前提下所建立的解的有效信息估计，其主要在解决解的存在性问题时至关重要，特别是对非线性偏微分方程的研究更加弥足珍贵。最为有名的先验估计当属二阶椭圆型与抛物型方程的Schauder估计、-估计，De Georgi-Nash估计，与Krylov-Safanov估计等。对于一般的非线性偏微分方程而言，对解本身及其各阶导数的可能范数模估计是非常本质性的可解性因素。调和分析方法与弱收敛方法在一些著名偏微分方程的研究中已经显示了勃勃生机。
Fields 奖与Wolf奖获得者中的著名数学家J. Bourgain，De Giorgi，L.V. H?rmander，P. D. Lax，J. Leray，H. Lewy，P. L. Lions，T. Tao，C. Villani等对偏微分方程的研究都做出了杰出贡献。
关于偏微分方程的数学著作推荐如下：
(1) A. Friedman, Partial Differential Equations, 1969。
(2) J. Smoller, Shock Waves and Reaction –Diffusion Equations, 1983。
(3) L.C.Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。
(4) M. Taylor, Partial Differential Equations, Vol. 1-3, 1996。
(5) L.C. Evans, Partial Differential Equations, 1998。
(6) 苗长兴、张 波，偏微分方程的调和分析方法，2008。
（六）大范围分析
数学分析、高等代数与空间解析几何被视为现代数学基础的“第一高”，而泛函分析、一般拓扑和抽象代数被认为是“第二高”。现代数学基础的“第三高”就是微分流形。作为现代核心数学大家园之一的大范围分析学（也称为流形上的分析）就是在这“第三高”的基础上，融合拓扑、代数与几何的思想方法而形成的高级分析数学领域。
微分流形是一个具有“微积分结构”的Hausdorff 拓扑空间，其包含了“第一高”中通常的规范曲线、曲面和区域等几何对象为特殊例子。微分流形就是为了微积分而生的说法并不过分。在微分流形的舞台上，可以考虑拓扑问题（微分拓扑），几何问题（微分几何）和分析问题（大范围分析），并自由与充分地运用代数、几何、拓扑和分析的方法与理论来研究相应的深刻数学问题。假设武术“奥妙同构”于数学，并且武术的“第一高”，“第二高” 和“第三高”分别是“地上的腾、挪、跳、跃”，“ 梅花桩上的腾、挪、跳、跃”和“空中的腾、挪、跳、跃”，那么微分流形上的现代数学理论就相当于武术的“第三高”。由此可以看出，大范围分析学在现代核心数学中的基本重要性了。
大范围分析学课程主要讲授流形与流形间的映射、流形的嵌入与浸入性质、临界值与横截性、Sard定理、切丛与向量丛、流形上的微积分、流形上的微分算子、无穷维流形、Morse理论及应用、Lie群、动力系统、奇点理论与几何分析等重要内容。应该说明的一点就是代数拓扑知识对学习大范围分析学的重要意义。
北京大学非线性分析学派的数学家在无穷维Morse理论及应用方面取得了世界先进水平的重要研究成果。
下面关于动力系统和几何分析两个方向进行简要介绍。
动力系统起源于经典力学的数学模型。经过常微分方程和偏微分方程分别刻画的有限维与无限维系统的演化，再到抽象的拓扑动力系统和随机动力系统，动力系统已经在现代核心数学领域确定了应有的重要地位。非线性泛函分析中的非线性半群概念就是一个动力系统概念。代数运算的半群性质是刻画动力系统的主要数学结构。动力系统作为抽象系统的定性研究，其主要特征是包含拓扑式，或遍历式的整体性研究。哈密尔顿系统的微扰理论、Kolmogorov系统的遍历理论以及KAM定理等等都是动力系统理论中的亮点性结果。J. H. Poincaré开创的常微分方程定性理论，诸如稳定性、轨道周期性与回归性等研究方法是动力系统学科研究的思想方法基础。基于G. D.Birkhoff三体问题遍历性定理的研究，而最终发现的描述哈密尔顿系统解的稳定性的KAM理论是动力系统理论的里程碑式的工作之一。在无穷维的偏微分方程系统中，KAM理论也得到了深入研究。
在通常的动力系统课程中，主要讲授以下一些基本内容：非线性微分方程系统的混沌吸引子、映射迭代与不变集、分形、拓扑动力系统，结构稳定性，Hartman定理，稳定流形定理，双曲集，Markov分割等。
我国北京大学动力系统学派，以及其它一些著名大学与研究机构的数学家在动力系统领域取得了具有世界水平的开创性工作。Fields奖与Wolf奖获得者中的V. I. Arnold，A. N. Kolmogorov，Elon Lindenstrauss，C. T. Mcmullen，J. K. Moser， S.P. Novikov，Y. Sinai，J. C. Yoccoz等著名数学家在动力系统领域做出了巨大贡献。
几何分析是大范围分析的重要分支，以几何问题的分析方法与分析问题的几何背景之交融研究而著称于数学界。特别是几何分析领域的一系列辉煌成就使得几何分析拥有了已经独立于大范围分析的特殊学术地位。世界著名华裔数学家、Fields奖及Wolf奖获得者丘成桐教授的研究工作奠定了几何分析的根基性学术地位，而且为偏微分方程方法应用于拓扑与几何的世界级猜想问题的解决开辟了先河。“千年数学难题”百万美元征解七大问题之一的庞加莱猜想的解决就归功于几何分析的无限力量。
庞加莱猜想是法国数学家庞加莱于二十世纪初提出的著名拓扑学问题：如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个封闭空间一定是一个三维的圆球。鉴于俄罗斯数学家佩雷尔曼对解决庞加莱猜想的巨大贡献，2006年国际数学家大会把数学最高奖Fields奖授予了佩雷尔曼，但是却遭遇了拒绝接受的尴尬状况。
在近百年的拓扑学方法无望于解决三维庞加莱猜想之际，Fields奖获得者瑟斯顿（Thurston）当时引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，使得庞加莱猜想的解决出现了希望的曙光。后来美国数学家理查德?汉密尔顿，受到丘成桐用非线性偏微分方程方法解决卡拉比猜想工作的启发，运用以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的Ricci流方程，对三维流形进行构造几何结构的拓扑手术，使得解决三维庞加莱猜想的进程更加本质性地迈进。在接近解决庞加莱猜想的近距离时刻，Ricci流进行空间变换时出现的奇点这一解决庞加莱猜想的重大障碍出现了。在关键时刻，俄罗斯数学家佩雷尔曼凌空出世，以八年独门功力，用三篇非正式期刊论文的方式，一举撼动百年难题庞加莱猜想，随之世界一流的相关数学家“众人捧材”，以至于彻底宣布庞加莱猜想被正式解决。显而易见，解决百年难题庞加莱猜想的科学意义是无比重大的。几何分析方法也由此无比荣耀。
中国几何分析数学家们的研究工作和研究队伍都在国际同行中产生了积极影响。
关于大范围分析的数学著作推荐如下：
(1) D. W. Kahn, Introduction to Global Analysis, 1980。
(2) 张锦炎、钱 敏，微分动力系统导引，1991。
(3) R.Clark Robinson, An Introduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。
(4) R.Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, 1994。
(5) D. W. Stroock, An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold, 2000。
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