最让人纠结的等式：0.999...=1

算法数学之美

日期：2018年1月6日

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      0.999... = 1 吗?此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，数学家们都是怎么来看待这个问题的。

　　最简单的“证明”

　　最简单的证明是这样的：1/3 = 0.333...，两边同时乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·里奇曼(Fred Richman)在《数学杂志》(Mathematics Magazine)上的文章《0.999... 等于 1 吗?》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托(David Tall)教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。

　　另一个充满争议的证明

　　大卫·福斯特·华莱士(David Foster Wallace)在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：

　　令 x = 0.999...

　　所以 10x = 9.999...

　　两式相减得 9x = 9

　　所以 x = 1

　　威廉·拜尔斯(William Byers)在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢?这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

　　逐渐靠谱的证明

　　等比级数具有这么一个性质：如果 |r|

　　那么我们就又有了一个快速的证明：

　　这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉(Leonhard Euler)的《代数的要素》(Elements of Algebra)中，不过当时他证明的是 10=9.999... 。

　　之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：

　　1846 年，美国教科书《大学算术》(The University Arithmetic)里这么说：在 0.999... 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》(Arithmetic for School)则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。

　　随着人们对实数更加深入的理解，0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年，巴图(Robert. G. Bartle)和谢波特(D. R. Sherbert)在《实分析引论》(Introduction to Real Analysis)中给出了一个区间套的证明：给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中;0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999... = 1。

　　弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗?》里则用戴德金分割给出了一个证明：所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... (因而小于 0.999... )，这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999... = 1 。

　　格里菲思(H. B. Griffiths)和希尔顿(P. J. Hilton)在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。

　　从未停止过的讨论

　　尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托(Pinto)和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。

　　在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼(Richard Feynman)也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点：从 π 的小数点后 762 位开始，出现了连续的 6 个 9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是 9，这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点(Feynman Point)。

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