有趣而又怪异的未解数学问题：香肠猜想
日期：2019年1月19日
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来源：算数学苑
这是我最喜欢的未解数学问题之一，并且它绝对怪异，相信我。
作为热身，假设你要把平面上许多相同的圆打包，要求用尽可能短的曲线将它们紧紧包在一起。对于七个圆，你可以试着包成长条“香肠”：
包成香肠状
但假设这次你要使曲线内的整个面积（包括圆以及圆之间的空隙）尽可能小。如果每个圆的半径为1，则香肠的面积是27.141。但还有一种更好的打包圆的方式，即包成中间一个圆、外面六个圆的六边形。这时其面积是25.533，比香肠的面积更小。
包成六边形
有趣的是，如果把圆替换成相同的球，并用面积尽可能小的曲面将它们紧紧包在一起，则对于七个球，长条香肠状比六边形的体积要小。只要不超过56个球，这种香肠模式包出的体积都是最小的。但对于57个及以上的球，体积最小的排列方式会更圆一些。
在四维或更高维数下，情况就没有那么直观。对于低于50000个的任意四维球体，将球体紧紧包 在一起并给出最小四维“球体”的排列是香肠状。但对于100000个四维球体，香肠状就不是最佳选择。因此，为了包出最小体积，需要用到一长细串球，直到四维球体数目实在太多。尚没人知道这个数目要到多少，香肠状才不是最佳选择。
真正有趣的变化很可能出现在五维。你可有会猜测，对于五维，香肠状是最佳选择，直到包裹的球体到，比如500亿个，然后某种更圆一点的形状会包出更小的五维体积；而对于六维，类似的临界点会出现在，比如29恒河沙（注：恒河沙是汉字文化使用的数量单位，通常指10的52次方到10的56次方的数量值。）个，诸如此类。但在1975年，拉斯洛·费耶什·托特提出了香肠猜想：在五维或更高维数下，最小体积的包裹球的方法总是香肠状，而不论所包的球体数目有多大。
1988年，乌尔里希·贝特克、马丁·亨克和约尔格·威尔斯证明了，对于任何大于或等于42维的情况，托特的猜想都是正确的。到目前为止，这是我们所能得到的最好的结果。
本文节选自英国沃里克大学数学教授伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）的科普巨作《数学万花筒（修订版）》，书中大部分内容独立成篇，你可以从几乎任意一处着手阅读。
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