【特征向量新解法】数学天才陶哲轩和三位物理学家的新发现

A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

它的物理意义是：

一个矩阵A乘以一个向量x，

就相当于做了一个线性变换λx。

方向仍然保持不变，

只是拉伸或者压缩一定倍数λ。

特征向量和特征值的几何本质，其实就是：

空间矢量的旋转和缩放。

线性变换 A 对于特征空间只起到“扩张(或者压缩)”的作用（扩张后还是同样的特征空间）

求解特征向量

按照传统解法：

计算特征多项式→求解特征值→求解齐次线性方程组，得出特征向量。

没错，就是这个再普通不过的基础数学求解公式。这也是教科书里面求特征值的方法！

然而，三位物理学家PeterDenton、StephenParke、张西宁发现了一个全新的方法：

知道特征值，只需要列一个简单的方程式，特征向量便可迎刃而解。

重点来了：

只需要列一个简单的方程式

只需要列一个简单的方程式

只需要列一个简单的方程式

重要的事情说三遍！

陶大神一口气用了三种方法证明了这个公式！

大神和三位物理学家一起发表了论文，阐述了这个公式的证明过程！

论文arxiv截图

△三位物理学家分别是：张西宁、Peter Denton和Stephen Parke。

就像陶哲轩所说：

这个公式看起来好得令人难以置信。

我完全没想过，子矩阵的特征值编码了原矩阵特征向量的隐藏信息。

陶哲轩对这个新方法第一反应却是：

这么短、这么简单的东西，早就应该出现在教科书里了！！！

新方法怎么来的？

但三位物理学家在计算中微子振荡概率的时候发现：

特征向量和特征值的几何本质，其实就是空间矢量的旋转和缩放。而中微子的三个味（电子，μ子，τ子），不就相当于空间中的三个向量之间的变换吗？

中微子振荡是一种量子力学现象。实验发现，电子中微子、μ子中微子和τ子中微子这三种中微子之间是可以相互转化的，而这就是中微子振荡现象。

△图源：Quantamagazine

三个物理学家意识到，特征向量和特征值之间，可能存在更普遍的规律。

于是，教科书级别的公式被发现了：

通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。

子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起，就可以计算原始矩阵的特征向量。

简而言之，已知特征值，一个方程式就可以求得特征向量。

△图源：Quantamagazine

这个新公式有多牛？

数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩评价道：

新公式的非凡之处是，在任何情况下，你不需要知道矩阵中的任何元素，就可以计算出你想要的任何东西。

别被上面的话吓着了，其实很简单，我们用一个naive的二阶对称矩阵试一试就知道：

先用传统的方法求解特征值：

可以得到：

然后使用这个公式可以算得：

证明过程

陶哲轩和Peter Denton、Stephen Parke、张西宁三位物理学家一起发表了论文，论文给出了两种解法，

一种给出一个Cauchy-Binet类型的行列式公式作为引理，构造式证明方法比较巧妙；

第二种证明是借用了伴随矩阵的思路。

ps：小编还在啃论文，希望能给出一个通俗的过程解释。

这一发现的意义：

在现实世界中，无论是在数学、物理学还是工程学中，许许多多的问题都涉及到特征向量和特征值的计算。

图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。

再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据。

在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵， Google的PageRank算法就是一个例子。

在量子力学中，特别是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理论下，原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量。相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个情况下，特征向量一词可以用于更广泛的意义，因为Fock算子显式地依赖于轨道和它们的特征值。

在神经网络中，深度神经网络本身可以看成是一种对特征向量空间的转换过程。因此是否可以在神经网络每次作转换的时候，根据特征值（奇异值）大小来表示每一维特征的重要性大小，从而调整相应权重的大小，这样是否会使得训练过程更加高效。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/1908.03795

https://arxiv.org/abs/1907.02534