0.00...1是个什么数？

算法数学俱乐部

日期：2020年01月19日

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来源:算法与数学之美

某些人仍然根据有限小数的经验，认为，0.99...不等于1。他们认为，0.99...虽然是无限小数，但是有最后一位，就是在无穷远处的那一位，因此0.9循环可以写成0.99...9，显然它与1差了0.00...1，小数点后无穷个0，最后跟了个1

这种关于无限小数的想法当然是错误的。回忆一下在实数系中引进无限循环小数的目的和依据：有理数在实数中稠密(即处处都有，任何一个小区间里都有有理数)，又在有理数中稠密，因此它在实数集中也稠密。因此我们可以用一个m/10^n形式有理数的数列去逼近任何的实数。因此我们的无限小数作为{m /10^n}数列的完成式，在小数点后面跟着的就是个由0-9数字组成的数列，它的每一项都跟自然数有一一对应的关系，而自然数根本就没有最后一项。可见，0.99...是无法写成0.99...9的。

那么，0.00...1是个什么数？

首先指出，它既不是有限小数，也不是我们平常所见的无限小数，因此它根本不是一个实数。

它不是个有限小数，这是显然的，因为小数点后面有无穷个0。那它为什么不是无限小数呢？前面已经说过，任何一个无限小数，后面的小数位按从左到右的顺序与自然数一一对应，任何一个小数位都对应一个有限的自然数。反观0.0...1，最后的那个1，不对应任何有限的自然数，前面的无限多个0就已经把所有自然数都对应完了。从小数运算规律来看的话，如果要把0.0...1与0.99...相加，那么0.99...中所有的9都与0.0...1中的0对应相加，0.0...1最后的那个1要加在哪一位呢？如果按无限小数对应实数的规则把它放在实数轴上，它要放在哪里呢？它非负，又小于所有形如 1/10^n的数，这样的数只有0。因此前面的无限多个0就已经决定了它只能是0了，后面的1对它的值来讲没有意义，没有存在的必要。

虽然在实数的范围内它是没有必要存在的表达式，但我们依然有必要从形式上讨论它，因为现在的数系发展早已经超越了实数，从一维的实数扩展到高维的复数、四元数等；从标准的实数扩展到了非标准的超实数、广义实数等。所以数的范围在扩大，概念并不唯一。在其它数系中是否可能有它的身影呢？我们最好先看看这个数的特征。

因为小数点后面的0的个数已经是无限的了，这些0占满了所有以自然数为标号的小数位，然后在这些无穷多个0后面紧接着又出现了一个1，已经超出了以自然数为下标的数列的研究范围。对于这个形式上的“数”，仅有自然数的知识就不够了，需要把自然数向无穷情形做一种推广。回想上一节的无穷基数的理论，它就是从“ 个数”角度把自然数推广到了无穷的情形，但对于我们的问题，光是讨论小数位的个数是不行的，因为我们说过，在可数无穷多个元素基础上增加一个元素，元素个数没什么改变，仍然是可数无穷，你很容易把最后添加的那个1对应自然数的第一个元素，然后把原来的每个对应位都向后移动一位，所有元素仍然是一一对应于自然数集的。

但是注意到，一旦把一个小数的数位顺序打乱，它的值就变了，它必须保持原来的顺序。因此我们需要一些无穷序数的知识，它是自然数向无穷世界的另一种推广。

一般而言，序数是用来表示有序序列中位置的数，量数（或叫基数）是用来表示“有多少数量”的数。

序数对应于排列，如在以下句子中的“一”及“二”：“这人一不会打字，二不懂速记，所以不可以做秘书。”量数对应于量词，例如在以下句子中的“一”及“四”：“有一个橙，有四个柑。”

有关序数的定义，你可以查阅ｗｉｋｉ百科“序数”词条。但那些形式化的定义对初学者来说都太抽象。我们可以先看一下序数的样子。首先需要知道“良序集”的概念：

在一个集合A上定义一个二元关系“≤”，如果满足：

①对每个x∈A，有x≤x(自反性)。②若x≤y与y≤x则x＝y(反对称性)。③若x≤y,y≤z则x≤z(传递性)。④对任何x∈A，y∈A，x≤y或y≤x中必有一成立，则称"≤"为A上的全序关系，称A在“≤”关系下为全序集，简记为(A,≤)。

自然数集、实数集在数的“小于等于”关系下都是全序集，数的“小于等于”关系就是这些集合上的全序关系。对于集合{{1,2,3},{1}, {2}}，包含关系“⊆”就不是全序关系，因为包含关系虽然满足上述的前三条，但在这个特殊集合上它不满足第四条，{1}和{2}就没有谁包含谁的关系。

如果一个全序集(A,≤)，它的任何非空子集都有最小元素，则称≤为良序关系，A在“≤”下为良序集。自然数就是一个典型的良序集，实数集在数的大小意义下就不是良序集，不存在大于0的最小元素。

从直观上看一个良序集是什么样子呢？

首先，因为是良序，那么A中有唯一一个最小元素，记为a0，去掉a0之后还有一个最小元素，记为a1，依此类推，可得一列元素an，使得

a0≤a1≤a2≤a3≤...

因为an各不相同，所以可以按照通常的习惯把所有的"≤"改成"<"。任何不在这个序列中的元素（如果有的话）都比这列元素中的任何一个大。从A中去掉所有的an，如果还能得到一个非空子集的话，那么这个子集中还有最小元素。刚才标记an序列的时候所有的自然数都用上了，那么这个元素就赋于一个新的标号：记为aω，依此类推，又得到一列元素a(ω+n)，所以现在A中的前面一部分元素在"<"的顺序下排成这个形状：

其中三点的省略号代表有限个元素，六点的省略号代表无限个元素。an和aω之间有无穷个自然数标号元，a(ω+n)和a(ω*2)之间有无穷多个(ω+自然数)标号的元素，a(ω*n)与a(ω^2)之间有无穷个标号为形如(ω*k+r)(k,r都为自然数)的元素......

这里的元素下标就是序数。序数，就是标定良序集中元素顺序的标号，是自然数的一种推广。初步的，我们得到最前面一些序数的形状：

但是，这样的描述缺乏数学上的严谨性，总不能把一个数学上的序数概念定义为“如上所示的一列数”吧？另外，上面的一列数有什么性质？是否有一个最大元？是否每一个良序集都可以用序数给每一个元素标号？这些问题都有待严格定义序数。

序数的一个直观且严谨的定义是用归纳法定义的，它完全是序数生成过程的描述：

1) 空集 Ø 是序数；
2) 如果a是序数，则a的后继 a∪{a} 也是序数；
3) 如果A是由序数构成的集合，那么A中所有元素的并集也是序数；
4) 所有的序数都由上述三条界定。
由上面的定义，我们可以写出开头的一些序数如下：
Ø,Ø∪{Ø}={Ø},{Ø}∪{{Ø}}={Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},...
将开头的这些有限序数分别简记为1,2,3,4,...,n,它们就是自然数在集合论中的定义。由此可见，
0=Ø,1={Ø}={0},2={Ø,{Ø}}={0,1},3={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}={0,1,2}...n={0,1,2,...,n-1},n+1=n∪{n}={1,2,3,...,n}。

这些自然数有一个共同的特点：都是由空集通过定义中的第二条生成的，每一个都既属于后一个，又包含于后一个。所有的自然数可以构成集合，这是公理集合论的假设。因此，根据序数的定义条款3)，所有自然数的并集(记为ω)也是序数。那么所有自然数的并集是什么呢？

注意到任何一个自然数n，n是n+1的元素，因此n∈ω，反过来任意ω中的元素都属于某个自然数，而自然数的元素也是自然数，所以ω就是自然数集本身。反复应用上面的定义，就可以得到类似于上面的那一长串序数。由序数的定义，还可以有超限归纳法，并证明，对于任何一个序数集，包含关系"⊆"是一个良序关系，并且∈是⊆的严格序关系，既 a∈b等价于a⊆b且a≠b。

下面证明：任何一个良序集都可以用序数为元素按顺序标号。设X是良序集，用0标记最小元，1标记第二小的元素，...，假设无法用序数为X中所有元素标号，那么能够获得标号的元素和无法获得标号的元素分别组成X的两个子集，分别记为Y和 Z，Y中的元素都比Z中的小。若Y中有最大元，标号为a，那么为Z中最小元标号a∪{a}，由定义，它也是序数，大于所有Y中的标号，矛盾；若Y中无最大元，那么Y中所有元素标号构成集合，此为序数构成的集合，所有序数之并集也是序数，这个序数未出现在Y的标号中，（因为假设它是Y某元素的标号，Y中无最大元，那么Y中总能找到比这个序数大的标号，即真包含这个序数的标号，矛盾）把Z中最小元素标记为此序数，也与假设矛盾。

至于是否有不可数无穷个序数，是否每个集合都能够定义良序关系，这里不去探讨了，可以参看公理集论的内容。

有了序数的概念，那么0.00...1的问题就有了理论依据：前面的0对应的标号都是自然数，最后的那个1对应第一个无穷序数ω。那么，我们看到，它确实跟0.99...不是一类数，暂且叫它“超级无穷小数”吧。

以下设x=0.00...1

▋第一个问题：0.00...1*10=?

根据有限小数的经验，一个小数乘以10，既可以理解为小数点向右移动一位，也可以理解为所有数位向左串一位。对于第一种理解，小数点向右移动一位，前面的0 还是无穷个，仍然可以占满所有自然数标号，因此有x*10=x。对于第二种理解，所有数位向左串一位，前面无穷个0的标号都减1，第0个标号移到了整数位，这没有问题。但最后的那个标号为ω的，却有问题：在序数中，不存在ω的前一个和ω紧临的序数，它向前移动一位，立刻跌进了深渊，消失在自然数尾部那个无穷的迷雾中了，因此可以有x*10=0.000...=0。

▋第二个问题：0.00...1/10=?

根据有限小数的经验，一个小数除以10，既可以理解为小数点向左移动一位，也可以理解为所有数位向右串一位。对于第一种理解，有x/10=x，对于第二种理解，x/10=0.00...01，注意0.00...01这个数最后的0和1分别对应ω和ω+1。

这是假定超级无限小数的数的位置是按前后顺序排成良序集，从而根据有限小数的经验推得的几种可能情况。但是可以看到，孤立地研究单独的一个数，可以有很多种可能，如果不把它放在具体的数系中，这种研究是没有什么意义的。

— THE END —

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