《线性代数应该这样学》学习小结

数学算法俱乐部

日期：2020年04月13日

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来源：原创

该书英文名Linear Algebra Done Right

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"近年来最具创新性的线性代数教材，每一位大学生都不可错过. "

这是写在中译版背后的语录．冲着“每一位大学生”，我开始读这本书．原本只是为了复习一下已经忘得差不多的大一课程，但事实证明，这“复习”比我当时“学习”还要累．这本书和常规教材的讲授顺序几乎是反过来的，它从公理化定义的线性空间（Linear  Space）入手，研究向量、算子（Operator）、内积（InnerProduct）以及本征值（Eigenvalue），最后再揭示了迹（Trace）与 行列式（Determinant）在整个线性代数体系中的位置和意义．整本书的思路优美流畅，既充分讲 述了线代的内容，又对线代的外延做了适当的拓展．读完这本书，我感受到，数学各个分支有着密切的联系．傅里叶变换、拉普拉斯变换在谱定理（SpectralTheorem）的背后若隐若现；迹与行列式、韦达定理，其思想一脉相承．

这本书非常好，但是我读得并不深入，因为我没有足够的时间去深究每一个命题．这本书的作者SheldonAxler 在书的前言“致教师”里说“即便是这么薄的一本书，你也不要指望能把所有内容都讲完．一学期讲完前八章就已经是一个雄心勃勃的目标了．”所以可想而知，我三个月读完这本书是一个什么样的效果．而且我觉得读这本书理想的条件和方式是：学过一遍常规线代教材的几个人，组成一个小组，花上一年半载的时间，一起来研读这本书．因为多人讨论是一种绝佳的启 发思路的方法．可惜我只满足第一个．

因此，在这个小结里，我不想过多涉及具体的线代理论（具体理论，可以看看这个博客：http://tianpeng.72pines.com/），只是谈谈这本书给我在数学思想方法上的启示．

1.   公理化定义

这是一种抽象的定义方式．其动机可以归纳为这么几个步骤：自然定义，特征归纳，公理 化定义．以内积和范数（Norm）的定义为例： 

a.   从几何上的点积，我们有：，其中；

b.   把坐标的定义域向复数拓展，同时为了保证在实数域中的结论不变，考虑到若，则有，所以定义复数域上的内积为：,其中.至此为第一步,自然定义;

c.   由前面定义的复数域上的内积，可以归纳出以下性质：（在线性代数中，把内积记为<,>）

正性：对所有，都有；定性：当且仅当；第一个位置的加性：对所有，都有；第一个位置的齐性：对所有，都有；共轭对称性：对所有，都有；

这一步是归纳．尽管书上没有提，但我觉得归纳这一步，不是一次性完成的，而是在自然定义的基础上发展出一套理论后，再根据建立这套理论所需要的性质归纳出来．而对于数学思想方法的理解，则只需要知道归纳就够了；

d. 凡是符合以上性质的运算，都可以叫做内积，因此对于，可以验证是内积的一种定义．至此为公理化定义． 读完这本书，我明白了为什么以前竞赛书里往往会列举一些显而易见的性质，比如“可加 性”“自反性”，这都为公理化定义做了准备，将定义抽象化，也就便于将定理拓展到其他方面运用，比如从几何拓展到代数．

2.   线性的黑盒

＂线性＂是这本书中以及整个线代理论中应用最广泛的一个公理化定义．百度百科给＂线性＂的定义是＂指量与量之间按比例、成直线的关系＂，这也是一直以来老师们所给的描 述，但为何要＂成比例＂？为何也是直线却不是＂线性＂？有时候，对于一个抽象却又显而易见的概念，不如从它的反面去理解．线性的反面——非线性，其实在生活、工程中随处可见．人们星期一工作，但人们星期六（把星期六看做星期一×６）不工 作；实际电压为1V 的时候，电压表显示为1V，实际电压上升到100V的时候，电压表显示为10V或者Error（反正不是100V），因为电压表爆了．所以从＂非线性＂，我们发 现＂线性＂具有很好的一个性质：a.知道了一组输入、输出后，就可以推测出这一组任意倍数的输入、输出．＂线性＂还有一个很好的性质在于：b.知道了两组输入输出后，可以 把两个输入相加（减），得到的新输出就是两个已知输出的和（差）．

数学上的这种输入、输出对关系，叫做映射。我们可以把属于看成是一种映射，然后用数学语言描述线性的两个性质就是：

若，则；若，则． 这就构成了线性空间的定义．

如果把映射记为Ｔ，那么这个性质就表述为：对所有都有；对所有都有．这就构成了线性算子的定义．

而在工程上，这种未知内部结构的输入输出关系，就叫做＂黑盒＂．如果这个黑盒是线性 的，那么就有一套成熟的线代理论可以运用．这个学期所学的多输入、多输出系统的状态方程，就是线代理论的一种应用．可惜大多数黑盒都不是全局的线性，只有有效地限制研究范围，才能够保证线性性质，例如使用电压表不能超过量程．

3.   方阵与行列式（Determinant）

以前学线性代数的时候，我觉得方阵与行列式的区别就在于竖线与括号的区别；但这个区别也不甚明显，以至于我见到方阵往往就抑制不了计算行列式的冲动．但Sheldon Axler 让我从更深刻的层面上理解了方阵与行列式的区别．

方阵是一种特殊的矩阵．常规的线性代数教材太过注重矩阵里的元素，而这本书注重的是映射，矩阵只是映射的具体表达形式．如前所说，映射像是一个黑盒，是一个多输入多输出的系统，那么方阵就是一个输入数量等于输出数量的黑盒．方阵的具体元素，是黑盒的影像，取决于从什么＂角度＂观察黑盒．具体地，取决于的一组基（Base）．

行列式的英文，determinant，有＂决定因素＂之意，韦氏词典用了identify这个词来定义它．其实行列式的意义，更接近于＂校验值＂，而非＂方阵的函数＂．为了方便，假设是复向量空间，而实际上，实向量空间上存在一个类似的定义．对于，假设的一组按照重数重复的本征值为，那么的行列式为，记为．算子的迹（Trace），意义与行列式相近，定义为．再结合算子的特征多项式，由于算子的本征值正是的的跟，因此可以发现，迹就是一元多次方程的根的和，行列式就是一元多次方程的根的积， 这两个概念与韦达定理的联系也正在于此．

结束语

与托马斯的微积分大砖头相比，这本书显得太薄了，但是作者在前言中毫不夸张地说＂要是你不到一小时就读完一页的话，那就可能读得太快了．＂确实如此，这本书从没有像托马斯微积分一样把一个概念重复两次，所以它需要前后翻着看；而有的问题又非常抽象，必须花一定的时间去理解．一旦理解了，就会感叹，思路精巧至极！如果有时间，我想结合常规的线代教材，把这本书再读一遍．当然，前提是＂如果＂有时间……

— THE END —