史宁中：从分数的本质谈起

数学算法俱乐部

日期 ： 2022年05月09日       

正文共 ：3569字

来源 ：和乐数学

随着时代的发展，尤其是随着课程改革的不断深入，小学数学教育领域发生了诸多改变，新的变化对小学数学教师专业素养提出了新的要求。其中，一个亟待解决的问题就是如何重新审视小学数学的内容及其本质。小学数学各部分内容的核心究竟是什么?哪些概念特别重要?为什么重要?……带着这些问题，我们和史宁中教授进行了畅谈。

问：新时期需要小学数学教师具有较高的数学专业素养。如何提高自己的数学专业素养，这是广大小学数学教师十分关心的话题。史教授，作为关注小学数学教育发展的应用数学家、教育家，您如何看待这个问题?

史教授：我们先从分数的数学含义谈起。就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。比如，盘子的1/2与足球场的1/2，它们所代表的实际意义是不尽相同的，但是在讨沦分数时又是等价。但是，对于“等价”的使用一定要慎重，特别是对于与“记数”有关的事物。

问：分数有时也表示成百分数，二者是等价的，但又有区别?您认为应该如何理解这个区别?

史教授：以1/2为例。在通常情况下，1/2＝50％，二者是等价的，但是，二者的意义并非完全相同，在很多情况下并不真正等价。如投篮球，连续投30次投中15次，与投2次投中1次，这两种情况的命中率虽然都是50％，但是给人的直观感觉是不一样的。前者的命中率显得更稳定一些，而后者可能是偶然的。

问：我们注意到，分数有比的含义。您如何看待这里的比与数学上的比以及现实生活中的比这三者之间的区别？

史教授：1/2虽然等于1：2，但二者的意义有所不同，不能混为一谈。在小学数学中，对于以比例形式出现的分数，在计算加法时更要十分慎重，有时候用加法计算后的结果可能与原意不符。比如，甲乙两个队踢足球，第一场2：3，第二场1：2，如何描述总的结果呢?如果用分数加法计算，结果为2/3+1/2=7/6，这显然是不合常理的。在现实生活中，对于处理分数的加法，有时候需要分子加分子、分母加分母。对于上述的这个例子2+1/3+2还是比较较合理的。下面的例子更为明显：在某种药物的临床试验中，试验人员对一批患者进行了疗效跟踪调查。其中，男性患者50 名，有疗效的23人；女性患者50人，有疗效的27人。此时，男性有效率为46％，女性的有效率为54％。现在需要描述总体疗效，总的有效率只能是50％。在小学数学统计内容的教学中，可能会涉及像上例这样的问题。作为小学数学教师，不仅需要了解数的运算，还需要与实际生活联系起来，了解数的本质和运算的意义。在教学过程中，当学生提出类似的问题时，教师应当思考其中是否有合理的成分，是否有生活的背紧，而不能一味地否定学生的“怪想法”。

问：分数的无量纲性是国内外首次出现的新观点，您能否进一步说明一下它的重要性?

史教授：分数无量纲性的意义在于能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点，有时候对于数学活动，特别是对于数学建模来说是非常重要的。比如一个小国的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP而得到GDP指数或者恩格尔系数，就可以进行相互间的比较了。

(注：GDP即国内生产总值。人均GDP是衡量—个阔家富有程度的重要标志，通常也用GDP指数。恩格尔系数是指家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收人之比。对—个国家而言，这个国家越穷，其恩格尔系数就越高；反之，这个国家越富，其恩格尔系数就越低。)

问：从分数的无量纲性，我们可以更清楚地把握小学分数教与学的侧重点。那么，就整个小学数学而言，您认为，小学数学的核心问题是什么?或者说，小学数学的核心目标是什么?

史教授：现代数学的研究对象主要涉及度量和非度量。在小学数学中，数是度量的基础，而图形是非度量的具体体现。对于数而言，重要的在于对数的本质的理解和感觉(即《标准》上所讲的“数感”)。我理解，数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。思考这个问题可以追溯到动物的感知。比如说—条狗，它可能敢与一匹狼争斗，但如果有两匹狼它就会害怕，如果面对一群狼它就会逃跑。这说明动物也知道“多与少”。我曾经查过一本书，书上的故事说明动物有明确的“多与少”的感知。1938年出版的《数：科学的语言》(丹齐克著，苏仲湘译) 一书中记载了这样一件事：一只乌鸦在一家庄园的望楼顶上建厂个鸟巢，庄园主对此很生气，决心杀死这只乌鸦。可是，每当庄园主走进望楼，乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主想了一个办法，他找来—个朋友，两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦，但是乌鸦并没有上当问巢。后来是三人进去两人出来，四人进去三人出来，依然如故。直到五人进去四人出来，乌鸦才分辨不清，回巢了。这说明乌鸦关于数的悟性至少可以分辨到4或5。那么，如果人不会数数的话，能辨别到几呢?后来我请教儿童发展心理专业的老师，他们说有实验表明，人也只能辨别到4或5。由此可以推断，在数学方面，发明了计数之后，人类才与动物产生了本质的差异。有了“多少”这一概念，人类才能理解“有序”、“后继数”等概念。从l开始，借助“后继数”，便形成了自然数系；通过自然数的四则运算，形成了有理数系；通过有理数的代数运算，最终形成了实数系。诉以，“多少”的概念，以及由其自然产生而不是通过运算产生的自然数，才是数学最本质的概念，也是小学数学的根基。在这个意义下，培养小学生的“数感”就成为小学低学段数学教学的重点。教会孩子对“数”的感悟，建立起关于数的直觉、形的直观，对于孩子未来的发展非常重要。

问：东北师大也有小学教育专业 (本科)，作为大学校长，您如何看待小学数学教师专业成长?除上面所说的需要感悟数学本质、重新审视小学数学的核心内容之外，还有哪些东西更重要?

史教授：教育的根本在于培养学生的学习兴趣，教会他们如何思考，从而激发他们学习的潜能，给他们以智慧。对于小学数学教师，—是要感悟小学数学课程内容的本质，二是要感悟教学工作的本质，不断地反恩自己的教育教学工作。我之所以用“感悟”这个词，就是说，有许多能力不是仅仅通过学习就能获得的，而是需要实践并且在实践中有意识、有目的地反思，这是—种感悟，只可意会而很难言传。做到了这一点，就会在教学过程中有非常清晰的思路，就可能娴熟地驾驭小学数学教学工作。

访谈者的感想：

对于小学数学教育教学过程中最本质的东西，如果不掌握，你就很难胜任小学数学教学工作。作为数学教师，只有不断地感悟、反思和体验已有的数学教学内容的本质，尤其是找到并真正感悟中小学数学课程教学中的那些核心内容，及时地反思自己的数学教学工作，自觉体验和不断完善自己对教育的理解，并与他人及时地进行沟通、交流，才能不断加速自己的专业化进程。

现在的一些数学课，特别是公开课，往往冠以“开放教学”的名头，然而却不是为学而设计的，而分明是为追求热闹的课堂气氛、为教师的出彩、为教师的表演设计的。热闹的背后掩盖的是学生数学学习的空乏—一在似是而非的数学学习活动中，除了热闹之外学生一无所获。小学数学教育从来就应当拒绝赶时髦、追流行，作为小学数学教师，我们永远必须教给学生明确的数学，培养学生严谨的数学思维方式以及有理有据的思维习惯。

数学是思维的体操．小学数学教育的目的之一便是要为学生打牢这体操的基本功---练就基本的数学技能、掌握基本的数学思维方法或方式。这样才能更有利于学生数学思维水平的长效发展。“高难度动作”的训练只能对一小部分学习有优势的同学进行，如果要求全体掌据，无疑是揠苗助长，不能有效地激发学生学习数学的兴趣，更谈不上产生积极的情感体验。小学数学应当教给学生相对简单好懂的数学，这样才能更有效地使学生产生喜爱数学的情感，使数学教育能真正做到面向全体。

数学是一门最重要的基础学科，作为一名小学数学教师，我们是值得庆幸与自豪的。在滚滚课改浪潮中，我们努力学习各种新理念，不断地尝试着各种教学方式，汲取着来自各种渠道的丰富的教学新信息，有时让我们觉得有所获而豁然开朗，有时又让我们产生疑虑而茫然失措．但是数学就是数学，简洁、抽象、严密是数学学科的本质，正是她美之所在，也正是她能如此吸引人的重要原因。无论是哪种教学理念的引领，无论选用哪种课程标准、哪种版本的教材，作为数学教师，我们始终应该坚守数学教育的底线：以人为本，抓住数学学科的本质教学，在坚持发扬我国数学教育的优良传统(注重双基，注重思维训练、注重培养科学的学习态度)的基础上，再来吸收外国的先进经验，做到洋为中用。万丈搞楼平地起，没有扎实的基础何谈创新，何谈发展。

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