【干货】怎样去写出一个晶面族（或晶向族）的所有晶面（或晶向）？06
基本知识回归
01
何为晶面指数？
晶体内的原子层面叫做晶体的晶面。
02
晶面指数如何确定？
确定晶面指数的步骤如下：定原点→求截距→取倒数→化最小整数→加（）
①建立一个空间直角坐标系，坐标轴分别为a，b，c；坐标原点不能在待标晶面上。
②求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z；
③对所求截距取倒数得1/x，1/y，1/z；
④将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l；
⑤再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。
用三指数表示的晶面指数又叫米勒指数（Miller indices）。
对于高对称性的晶体来说，结晶学上等价的面具有相同的指数，这些结晶学上的等价面就构成一个晶面族。
例如，立方晶系中：
晶面族特点：
（1）对于立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属同一晶面族；
（2）一个晶面指数代表一系列相互平行的晶面；
（3）一个晶面族代表一系列性质地位相同的晶面。
03
何为晶向指数？
常用的标定晶向指数的方法一般有两种，分别是坐标法和行走法。
04
晶向指数如何确定？
（1）用坐标法确定晶向指数的步骤：定原点→建坐标→求坐标→化最小整数→加[ ]
①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；
②在该待测晶向上找到另一点，并求出该点的坐标u，v，w；
③将坐标数按比例化为最小的整数，放在一个方括号中，就得到该晶向的晶向指数。
（2）用行走法确定晶向指数的步骤：
①建立一个空间直角坐标系，并将坐标原点设在待测晶向上；
②从原点出发，分别沿着各坐标轴方向行走，最后落在待测晶向上的另一点；
③将延三个坐标轴方向行走的距离化为最小的整数，放在方括号中，就得的该晶向的晶向指数。
对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族<uvw>。
例如，。
晶向族特点：
（1）立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属同一晶向族；
（2）一个晶向指数代表一系列相互平行、方向相同的晶向；
（3）一个晶向族代表一系列性质地位相同的晶向。
实战演练
怎样去写出一个晶面族（或晶向族）的所有晶面（或晶向）？
这其实是概率论的排列组合问题。
首先来一小段概率论的排列组合知识，已熟悉可以略过
有123个房间，abc三个人，每人一个房间，有多少种组合?
假设a先选，这个时候a有3个房间可以选。a选完之后，b再选，那么b有2个房间选。c最后选，只有1个房间可以选。因此最后他们的房间组合数是3×2×1=6种。（如果改为b或c的先选择同样是6种组合）
即：
接下来进入正式的环节——
①以{123}晶面族为例：
数字123在3个位置的排列同样是有3×2×1=6种。
在晶面中还包括了负数，但是，（123）和（-1-2-3）互为相反数，它们代表一组相互平行、方向相反的晶面。（-123）和（1-2-3）互为相反数，因此我们先只考虑带负号和不带负号，不考虑带负号个数。
那么这样对于一组（123）晶面来说，它又可能有不带负号和负号分别在1、2、3位加起来4种，也就是（123）、（-123）、（1-23）（12-3）。6种排列的每一种当中都可能有4种排列，因此最后是24种排列。这24种排列还有各自对应的相反数，于是一共是48种排列。3×2×1×4×2
即：
（按照排列的顺序写晶面族包
含的晶面条理清楚不会出错）
②{111}型有（111）、（-111）、（1-11）、（11-1）4种，再加上相反数，一共8种。
③{110}类型看0的位置，分别在123位，即（011）、（101）、（110），此外，负号位置不同互为相反数，即（0-11）=-（01-1），负号只有存在与不存在两种情况，因此一共有3×2×2=12种排列。
④{100}类型看1的位置，分别在123位，即（100）、（010）、（001）。由于有两个0，负号存在与不存在互为相反数，即（100）=-（-100），因此一共有3×2=6种排列。
（立方体的6个表面）
⑤{120}类型，位置排列3×2×1=6种，由于0的存在，负号位置不同互为相反数，即（1-20）=-（-120），因此一共有3×2×1×2×2=24种排列。
{112}类型看2的位置，有3种情况，负号有不存在和位置不同一共4种情况，即（112）、（-112）、（1-12）、（11-2），因此一共有3×4×2=24种排列。
总结
{123}/{abc}类型：48个。3×2×1×4×2
{111}/{aaa}类型：8个。4×2
{110}/{aa0}类型：12个。3×2 ×2
{100}/{a00}类型：6个。3×2
{120}/{ab0}， {112}/{aab}类型：24个。3×2×1×2×2，3×4×2
晶向族的情况与晶面族一样，只需要把符号{ }、（ ）改为< >、[ ]。
在下一个专题，讨论滑移系的数量计算问题。
注意：不同教材中对于{111}及{-1-1-1}是否为相同晶面定义不同，大家要根据自己的参考教材来确定哦。
思考题
数字相同的晶向与晶面相互垂直，请问以上说法是否正确，为什么？（欢迎留言交流）
上期答案
下图是Na2O的理想晶胞结构示意图，请问结构中何种离子做何种密堆积；何种离子填充何种空隙，所占比例是多少。
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