【干货】扩散基本定理 19

扩散基本定理

一、菲克第一定律※※

扩散过程可分为稳态扩散与非稳态扩散。

在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度不随时间变化；

在非稳态扩散中，通量随时间而变化；

当固态中存在成分差异时，原子将从浓度高处向浓度低处扩散，扩散中原子的通量与质量浓度梯度成正比，即：

其中：J为扩散通量，g/(cm²·s)或mol/(cm²·s)；

D为扩散系数，cm²/s，是一个材料常数；

为同一时刻沿 x 轴方向的浓度梯度。负号是为了保证扩散方向与浓度降低方向一致。

对于三维的情况有：

它仅适应于稳态扩散，即质量浓度不随时间而变化。实际上稳态扩散的情况很少，大部分都是非稳态扩散，这就需要用菲克第二定律。

二、菲克第二定律※※

大多数扩散过程是非稳态过程，即浓度是随时间而变化的，需要用菲克第二定律处理。

在垂直于物质运动方向x上，取一个横截面积为A，长度为dx的体积元，设流入及流出此体积元的通量为J₁和J₂，作质量平衡，可得

流入质量－流出质量＝积存质量

或流入速率－流出速率＝积存速率。

显然：流入速率=J₁A

由微分公式可得：流出速率为

则积存速率为

积存速率也可用体积元中扩散物质质量浓度随时间的变化率来表示，因此可得

将菲克第一定律

代入上式，可得：

菲克第二定律：

如果假定D_s与浓度无关，则上式可写为：

考虑三维扩散情况，并假定D是各向同性的，则菲克第二定律普遍式为：

化学扩散：由于浓度梯度所引起的扩散，在扩散过程中，异类原子相对扩散，互相渗透。

自扩散：不依赖浓度梯度，而仅由热振动产生的扩散，如纯金属晶粒长大。由Ds表示。

则自扩散系数的定义：

表示合金中某一组元的自扩散系数是它的质量浓度梯度趋于零时的扩散系数。

三、扩散方程的解

求解方法：

1．确定方程的初始条件；

2．确定方程的边界条件；

3．用中间变量代换，使偏微分方程变为常微分方程；

4．得到方程的解。

1. 两端成分不受扩散影响的扩散偶

将质量浓度为ρ₂的A棒和质量浓度为ρ₁的B棒焊接在一起，焊接面垂直于x轴，然后加热保温不同时间，焊接面（x=0）附近的质量浓度将发生不同程度的变化，如图所示。

假定试棒足够长以致保证扩散偶两端始终维持原浓度。根据上述情况，可分别确定方程的初始条件和边界条件：

质量浓度随距离x和时间t变化的解析式为

在界面处（x=0），则erf(0)=0,所以

即界面上质量浓度ρ_s始终保持不变。这是假定扩散系数与浓度无关所致，因而界面左侧的浓度衰减与右侧的浓度增加是对称的。

若焊接面右侧棒的原始质量浓度ρ₁为零时，则：

而界面上的浓度等于ρ₂/2。

（1）一端成分不受扩散影响的扩散体

低碳钢高温奥氏体渗碳是提高钢表面性能和降低生产成本的重要生产工艺。此时，原始碳质量浓度为ρ₀的渗碳体零件可被视为半无限长的扩散体，即远离渗碳源的一端的碳质量浓度在整个渗碳过程中不受扩散的影响，始终保持碳质量浓度为ρ₀。根据上述情况，可列出：

初始条件：

边界条件：

即假定渗碳一开始，渗碳源一端表面就达到渗碳气氛的碳质量浓度ρ_s，则：

如果渗碳零件为纯铁（ρ₀=0），则上式简化为：

（2）衰减薄膜源

在金属B的长棒一端沉积一薄层金属A，将这样的两个样品连接起来，就形成在两个金属B棒之间的金属A薄膜源，然后将此扩散偶进行扩散退火，那么在一定的温度下，金属A溶质在金属B棒中的浓度将随退火时间t而变。令棒轴和x坐标平行，金属A薄膜源位于x轴的原点上。当扩散系数与浓度无关时，这类扩散偶的方程解释下面的形式：

式中k是待定常数。通过对上式微分就可知其实菲克第二定律的解。

薄膜扩散源随扩散时间衰减后的再分布：

思考题

扩散定律中的稳态和非稳态的含义是什么？

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